Троугао, Питагорина теорема

Подела и особине троуглова. Питагорина теорема. Примена Питагорине теореме. Решени задаци. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Израчунати дужину $AB$ на слици.

347

Пр.2) Подножие фабричног димњака удаљено је $300 m$ од неке тачке на земли из које се димњак види под углом од $30°$ . Колика је висина димнјака?

Пр.3) Ако је сенка једног дрвета дугачка $12 m$ , а растојање врха дрвета до врха сенке је $20 m$ , колико је високо дрво?

Пр.4) Израчунати обим правоуглог троугла ако је $P=54 cm^{2}$ и $b=12 cm$ .

Пр.5) Израчунати обим и површину једнакокрак-правоуглог троугла ако је катета $2\sqrt{2}cm$ .

Пр.6) Израчунати обим и површину једнакокрак-правоуглог троугла ако је хипотинуза $3\sqrt{2}cm$ .

Пр.7) Обим једнакостраничног троугла је $18 cm$ . Израчунати висину и површину троугла.

Пр.8) Дужина катете правоуглог троугла је $18 cm$ а дужина тежишне дужи која јој одговара је $15 cm$ . Израчунати обим и површину троугла.

Пр.9) Израчунати обим и површину једнакокраког троугла чија је основица $18 cm$ а њој одговарајућа висина је $12 cm$ .

Пр.10) Дужина катете правоуглог троугла је $24 cm$ и дужина тежишне дужи која одговара хипотинуза је $12,5 cm$ . Израчунати обим и површину троугла.

Пр.11) Израчунати обим и површину једнакокраког троугла чија је основица $24 cm$ и крак $15 cm$ .

Пр.12) Троугао на слици је цацтавлен од четри подударна једнакостранична троугла. Израчунај обим и површину троугла са слике ако је висина малог троугла $2\sqrt{3}cm$ .

348

Пр.13) Израчунати обим и површину једнакокраког троугла ако је висина $6\sqrt{3}cm$ .

У правоуглом троуглу квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата катета: $c^2 = a^2 + b^2$ , где је $c$ страница наспрам правог угла. Из ове теореме следе формуле које се често траже на завршном испиту. Једнакостранични троугао странице $a$ има висину $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и површину $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ . Једнакокрако-правоугли троугао има хипотенузу $c = a\sqrt{2}$ . Висина једнакокраког троугла полови основицу, па је крак $b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ .

Тежишна дуж која одговара хипотенузи једнака је половини хипотенузе, а катета наспрам угла од $30^\circ$ такође. Најчешћа грешка је да се као хипотенуза узме страница која то није: хипотенуза је увек најдужа страница.

Катета a = BC3

Катета b = CA4

a² + b²: 25
c²: 25
Хипотенуза c: 5

Збир површина квадрата над катетама увек је једнак површини квадрата над хипотенузом. Троугао 6, 8, 10 из примера је троугао 3, 4, 5 са слике увећан два пута.

Питагорину теорему користе мајстори кад проверавају да ли је угао прав (троугао са страницама 3, 4 и 5), ватрогасци кад рачунају до које висине досежу мердевине, а електричари кад одређују дужину затезних сајли стубова.

Затезне сајле стуба

Стуб за расвету на школском игралишту висок је 8 m. Учвршћен је са три сајле: свака иде од врха стуба до клина у земљи, 6 m од подножја стуба. Колико метара сајле треба за све три?

Решење

Стуб, тло и сајла чине правоугли троугао: катете су 8 m и 6 m, а сајла је хипотенуза.
$c^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ , па је $c = 10$ m.
За три сајле: $3 \cdot 10 = 30$ m.

Одговор: Потребно је 30 m сајле, по 10 m за сваку.

Задатак за вежбу

Саобраћајни знак опасности је једнакостранични троугао странице 90 cm. Израчунајте његову висину и површину.

Прикажи решење

$h = \frac{90\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3} \approx 77{,}9$ cm, $P = \frac{90^2\sqrt{3}}{4} = 2025\sqrt{3} \approx 3507$ cm².