Углови и праве – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

УГЛОВИ И ПРАВЕ

Аксиоме су математичка тврђења која се прихватају и не доказују.

Тачка, права и раван су аксиоматски појмови, односно не постоји њихова дефиниција, нити их можемо доказати, мада – на њима се базира читава нама позната геометрија.

Права:

Аксиоми:

Од свих линија од тачке А до тачке В права линија је најкраћа.
Права је одређена са 2 тачке.

Раван:

Аксиоми:

Раван је одређена:

- Са три различите тачке које не припадају једној правој.

260

- Једном правом и једном тачком ван ње.

261

- Са две паралелне праве

262

- Са две праве које се секу.

263

Полуправа је скуп тачака које припадају некој правој $p$ , а састоји се од једне тачке O и свих тачака које су са исте стране тачке О.

264

Дуж је скуп тачака праве која садржи две њене тачке А и В и све тачке које се налазе измећу њих. Тачке А и В се називају крајевима дужи.

265

Полураван је скуп тачака неке равни $\alpha$ који се састоји од свих тачака неке праве $p,p \subset \alpha$ и свих осталих тачака које се налазе у тој равни са исте стране праве $p$ .

266

Каже се да права $p$ дели раван $\alpha$ на две полуравни.

Угаона линија је унија двеју полуправих Оp и Oq . Тачку О називамо теме, док полуправе Оp и Oq представљају краке угаоне линије.

267

Угао је унија угаоне линије и свих тачака у равни које су са исте стране те угаоне линије. Угао означавамо са $\measuredangle pOq$

268

Централни угао кружне линије је угао чије је теме у центру те кружне линије.

269

Кружни лук је део кружне линије који је садржан у једном његовом централном углу.

270

Тетива је дуж која спаја две тачке кружне линије. Најдужа тетива је пречник круга.

272

273

Степен ( ${1^\circ }$ ) је основна јединица мере угла. То је угао који је једнак 360-ом делу пуног угла.

Мање јединице мере су минут ( ${1'}$ ) и секунд ( ${1''}$ ).

274

Углови су комплементни ако у збиру дају прав угао.

Углови су суплементни ако у збиру дају опружен угао.

Угао α је суседан углу β ако се β надовезује на α.

275

Суседни углови који су суплементни називају се упоредни углови.

276

Унакрсни углови су свака два несуседна удубљена угла одређена двема правим које се секу и њихови краци припадају по један свакој од ових правих.

277

Ако у равни права t сече две паралелне праве p и q,онда праву t називамо трансверзала правих p и q.

Две паралелне праве p и q деле раван на три области (спољашња, унутрашња, спољашња).

282

Сагласни углови су углови с различитим теменима, један спољашњи и један унутрашњи с исте стране сечице.

283

Наизменични углови су два угла с различитим теменима, с различитих страна сечице и оба спољашња или оба унутрашња угла.

284

Супротни углови су два угла с различитим теменима, оба спољашња или оба унутрашња, с исте стране сечице.

285

278

Ако су два угла у равни углови са паралелним крацима,онда су та два угла или једнаки или суплементни.

279

Два удубљена (неконвексна) угла са нормалним крацима су:

Једнака, ако су оба оштра, оба права или оба тупа

280

Суплементна, ако је један оштар а други туп (или су оба права)

281

Права је одређена двема тачкама, а раван трима тачкама које нису на једној правој. Углове меримо у степенима, а $1^\circ = 60'$ и $1' = 60''$ . Углови су комплементни ако им је збир $90^\circ$ , а суплементни ако им је збир $180^\circ$ . Упоредни углови су суседни и суплементни, а унакрсни углови су једнаки.

Кад трансверзала сече две паралелне праве, сагласни и наизменични углови су једнаки, а супротни су суплементни. Углови са паралелним крацима, као и углови са нормалним крацима, једнаки су ако су оба оштра или оба тупа, а суплементни ако је један оштар, а други туп. При одузимању са минутима позајмите $1^\circ = 60'$ : $90^\circ - 47^\circ 35' = 42^\circ 25'$ .

α: 60,3°
Сагласни угао β: 60,3°
Наизменични угао γ: 60,3°
Упоредни угао 180° − α: 119,7°

Како год нагнете трансверзалу

t

, сагласни углови

\alpha

и

\beta

остају једнаки, као и наизменични углови

\alpha

и

\gamma

. Упоредни угао увек допуњује

\alpha

до

180^\circ

.

Ова правила користе геодете и пројектанти кад нова улица или пруга под углом сече паралелне улице, а столари и мајстори кад на два паралелна места секу летве под истим углом.

Булевар сече две улице

Две паралелне улице сече нови булевар. На првој раскрсници булевар са улицом гради угао од $58^\circ$ . Које углове булевар гради са другом улицом?

Решење

Улице су паралелне праве $p$ и $q$ , а булевар је њихова трансверзала $t$ .
Углу од $58^\circ$ код праве $p$ одговара сагласан угао код праве $q$ . Сагласни углови су једнаки, па је и он $58^\circ$ .
Њему упоредан угао је $180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$ .
Унакрсни углови су једнаки, па на другој раскрсници постоје по два угла од $58^\circ$ и од $122^\circ$ .

Одговор: Булевар са другом улицом гради два угла од $58^\circ$ и два угла од $122^\circ$ .

Задатак за вежбу

Две паралелне праве $p$ и $q$ сече права $t$ . Један угао код праве $p$ је $64^\circ 25'$ . Колики је њему сагласан угао код праве $q$ , а колики је њему упоредни угао?

Прикажи решење

Сагласан угао је такође $64^\circ 25'$ , а упоредни је $180^\circ - 64^\circ 25' = 179^\circ 60' - 64^\circ 25' = 115^\circ 35'$ .