Квадрат бинома, разлика квадрата – дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

КВАДРАТ БИНОМА, РАЗЛИКА КВАДРАТА

Квадрат бинома:

$\left( {a + b} \right){^2} = {a^2} + 2 \cdot a \cdot b + {b^2}$ (квадрат збира)

$\left( {a - b} \right){^2} = {a^2} - 2 \cdot a \cdot b + {b^2}$ (квадрат разлике)

Разлика квадрата:

${a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)$

Водите рачуна да мономи које смо обележили словима $a$ и $b$ у општем случају не морају бити састављени од једног слова или једног броја. Унутар монома може бити и неки коефицијент, заграда, знак" $\cdot$ " , разломак, итд.

ОБРАТИТЕ ПАЖЊУ:

$\begin{aligned}&{(a + b)^2} \ne {a^2} + {b^2} \\ &{(a - b)^2} \ne {a^2} - {b^2}\end{aligned}$

Квадрат збира и квадрат разлике су $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , а разлика квадрата је $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ . Уместо $a$ и $b$ могу стајати и мономи са коефицијентима: $(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

Најчешћа грешка је изостављање двоструког производа, а $(a + b)^2$ није $a^2 + b^2$ . Код квадрата разлике минус стоји само испред двоструког производа, док су оба квадрата позитивна. Члан $2ab$ се види на квадрату странице $a + b$ : поред квадрата $a^2$ и $b^2$ у њему су и два правоугаоника $a \cdot b$ . Формуле користите у оба смера, за множење и за растављање на чиниоце, а помажу и у рачунању напамет: $49 \cdot 51 = 50^2 - 1 = 2499$ .

Страница базена a6 m

Две ширине стазе b2 m

(a + b)²: 64 m²
Базен a²: 36 m²
Стаза 2ab + b²: 28 m²

Велики квадрат чине квадрат

a^2

, квадрат

b^2

и два правоугаоника

a \cdot b

. Кад одузмете базен

a^2

, остаје стаза

2ab + b^2

: за

a = 6

и

b = 2

то је 28 m².

Квадрат бинома и разлику квадрата користите кад рачунате површину стазе, рама или оквира око квадратне површине и кад брзо множите напамет, на пример $98^2$ или $47 \cdot 53$ .

Стаза око базена

Квадратни базен има страницу 6 m. Око њега се поплочава стаза широка 1 m, тако да базен са стазом опет чини квадрат. Колика је површина стазе?

Решење

Стаза је са обе стране базена, па је страница великог квадрата $6 + 2 \cdot 1 = 8$ m. Пишемо је као $a + b$ , где је $a = 6$ и $b = 2$ .
Површина великог квадрата је $(6 + 2)^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 2 + 2^2 = 36 + 24 + 4 = 64$ m².
Стаза је велики квадрат без базена: $64 - 6^2 = 64 - 36 = 28$ m², што је управо $2ab + b^2 = 24 + 4$ .

Одговор: Површина стазе је 28 m².

Задатак за вежбу

Из квадратног лима странице 30 cm исече се квадрат странице 10 cm. Израчунајте површину остатка помоћу разлике квадрата.

Прикажи решење

$30^2 - 10^2 = (30 - 10)(30 + 10) = 20 \cdot 40 = 800$ cm².