Пирамида – примери 4

Површина и запремина четворостране пирамиде. Четворострана пирамида чија је основа ромб. Сложенији пример.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6) Основа пирамиде је ромб страница 2cm и оштрог угла ${60^ \circ }$ . Висина пирамиде има подножје у центру симетрије ромба, а краћа бочна ивица је 2cm. Одреди површину и запремину пирамиде.

Пр.6)

220

Имамо да основа пирамиде је ромб. Означимо страницу ромба са $a = 2cm$ и оштар угао са $\alpha = {60^ \circ }$ . Знамо да висина пирамиде има подножје у центру симетрије ромба то значи да висина пирамиде има подножје у тачки пресека диjагонала тог ромба. Бочне ивице ове пирамиде се разликуjу. Означимо краћи ивици пирамиде са ${s_1}=2cm$ а дужи ивици са ${s_2}$ .

$P = B + M$

У бази се налази ромб коj има угао ${60^ \circ }$ .Онда

$\begin{aligned}&B = 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2} \cdot \sin {60^ \circ } \\ &B = 2\sqrt 3 cm\end{aligned}$

Кад је основа пирамиде ромб, а подножје висине у његовом центру, у пресеку дијагонала, бочне ивице нису једнаке. Краће иду ка крајевима краће дијагонале: $s_1^2 = H^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2$ , а дуже $s_2^2 = H^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$ . Центар ромба је ипак једнако удаљен од све четири странице, за $r = \frac{h_r}{2}$ , половину висине ромба. Зато све четири бочне стране имају исту апотему $h^2 = H^2 + r^2$ .

Основа је $B = a^2\sin\alpha = \frac{d_1d_2}{2}$ ; код угла од $60^\circ$ краћа дијагонала дели ромб на два једнакостранична троугла, па је $d_1 = a$ . Затим $M = 4 \cdot \frac{ah}{2} = 2ah$ и $V = \frac{1}{3}BH$ . Честа грешка је да се апотема рачуна са $\frac{a}{2}$ , као код квадрата.

Оштар угао α60°

Висина пирамиде H4 cm

Краћа бочна ивица s₁: 5 cm
Дужа бочна ивица s₂: 6,56 cm
Апотема h: 4,77 cm
Запремина V: 41,57 cm³

Ромб има страницу 6 cm. Центар

O

једнако је удаљен од свих страница, па све бочне стране имају исту апотему, а бочне ивице су два пара различитих. Тек за

\alpha = 90^\circ

, кад ромб постане квадрат, све четири ивице су једнаке.

Брушени кристали, украси и стаклени притискачи понекад су пирамиде са основом ромба; из оваквог рачуна произвођач одређује масу комада и дужине ивица за брушење.

Стаклени притискач за папир

Притискач за папир је стаклена пирамида. Основа је ромб странице 6 cm са оштрим углом од $60^\circ$ , подножје висине је у пресеку дијагонала, а краће бочне ивице су дугачке 5 cm. Колика је маса притискача ако 1 cm³ стакла има 2,5 g? Колике су дуже бочне ивице?

Решење

Краћа дијагонала дели ромб на два једнакостранична троугла, па је $d_1 = 6$ cm, а дужа је $d_2 = 2 \cdot \frac{6\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ cm. Основа: $B = \frac{d_1d_2}{2} = 18\sqrt3 \approx 31{,}18$ cm².
Краћа бочна ивица иде ка крају краће дијагонале: $H^2 = 5^2 - 3^2 = 16$ , па је $H = 4$ cm.
Запремина: $V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt3 \cdot 4 = 24\sqrt3 \approx 41{,}57$ cm³, а маса $41{,}57 \cdot 2{,}5 \approx 103{,}9$ g.
Дужа бочна ивица: $s_2^2 = H^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 16 + 27 = 43$ , па је $s_2 = \sqrt{43} \approx 6{,}56$ cm.

Одговор: Притискач има око 104 g, а дуже бочне ивице су дугачке око 6,56 cm.

Задатак за вежбу

Основа пирамиде је ромб са дијагоналама 12 cm и 16 cm, а подножје висине је у пресеку дијагонала. Висина сваке бочне стране је 6 cm. Израчунајте површину и запремину пирамиде.

Прикажи решење

$a = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm, $B = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ cm². Центар је од сваке странице удаљен $r = \frac{B}{2a} = 4{,}8$ cm, па је $H = \sqrt{6^2 - 4{,}8^2} = 3{,}6$ cm. $M = 4 \cdot \frac{10 \cdot 6}{2} = 120$ cm², $P = 216$ cm², $V = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 3{,}6 = 115{,}2$ cm³.