Значајне тачке троугла – понављање градива

Решени задаци, припрема за контролни задатак.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1. Висина која одговара хипотенузи правоуглог троугла гради са једном катетом угао од 27˚. Одредити оштре углове тог троугла.

2. Висина која одговара основици једнакокраког троугла је 1,5 dm. Израчунати удаљеност врха тог троугла од тежишта троугла.

3. Дат је једнакокраки троугао АВС са основицом АВ. Висина која одговара краку ВС гради угао од 37˚ 15’ са:

(а) основицом АВ (б) краком АС.

Израчунати унутрашње углове троугла АВС.

4. Полупречник круга описаног око једнакостраничног троугла је 2 cm. Израчунати полупречник уписаног круга. Колика је дужина висине тог троугла?

1.

567 png

$\beta + {27^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }$
$\beta = {180^ \circ } - {117^ \circ }$
$\beta = {63^ \circ }$
$\alpha + \beta = {90^ \circ }$
$\alpha + {63^ \circ } = {90^ \circ }$
$\alpha = {90^ \circ } - {63^ \circ }$
$\alpha = {27^ \circ }$

2.

568 png

$\begin{aligned}&{h_a} = {t_a} = 1,5dm \\ &CT = \frac{2}{3}{t_a} \\ &CT = \frac{2}{3}1,5dm \\ &CT = 1dm\end{aligned}$

3. 569 png

a)

$\alpha + {90^ \circ } + {37^ \circ }15' = {180^ \circ }$
$\alpha + {127^ \circ }15' = {180^ \circ }$
$\alpha = {180^ \circ } - {127^ \circ }15'$
$\alpha = {52^ \circ }45'$
$\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ }$

${52^ \circ }45' + {52^ \circ }45' + \gamma = {180^ \circ }$

${105^ \circ }30' + \gamma = {180^ \circ }$

$\gamma = {180^ \circ } - {105^ \circ }30'$

$\gamma = {74^ \circ }30'$

b)

$\gamma + {90^ \circ } + {37^ \circ }15' = {180^ \circ }$

$\gamma + {127^ \circ }15' = {180^ \circ }$

$\gamma = {180^ \circ } - {127^ \circ }15'$

$\gamma = {52^ \circ }45'$

$\alpha + \alpha + \gamma = {180^ \circ }$

$\alpha + \alpha + {52^ \circ }45' = {180^ \circ }$

$2\alpha + {52^ \circ }45' = {180^ \circ }$

$2\alpha = {180^ \circ } - {52^ \circ }45'$

$\alpha = {127^ \circ }15':2$

$\alpha = {63^ \circ }37'30''$

4.

570 png

$\begin{aligned}&{r_o} + {r_u} = {t_a} \\ &{r_o} + {r_u} = {h_a} \\ &{r_o} = \frac{2}{3}{t_a} \\ &2 = \frac{2}{3}{t_a} \\ &2 = \frac{2}{3}{h_a} \\ &{h_a} = 2:\frac{2}{3} \\ &{h_a} = 2 \cdot \frac{3}{2} \\ &{h_a} = 3 \\ &{t_a} = 3 \\ &{r_u} = \frac{1}{3}{t_a} \\ &{r_u} = \frac{1}{3} \cdot 3 \\ &{r_u} = 1cm\end{aligned}$

За задатке о значајним тачкама довољно је неколико чињеница. Тежиште дели сваку тежишну дуж у односу $2 : 1$ , па је $CT = \frac{2}{3}t_c$ . У једнакокраком троуглу висина на основицу је уједно тежишна дуж, симетрала основице и симетрала угла при врху, па све четири значајне тачке леже на њој. У једнакостраничном троуглу оне се поклапају, а $r_o = \frac{2}{3}h$ и $r_u = \frac{1}{3}h$ , дакле $r_o = 2r_u$ и $r_o + r_u = h$ .

У задацима са угловима висина гради правоугле троуглове. У сваком од њих један угао је $90^\circ$ , па се трећи угао добија из збира $180^\circ$ . Прво нацртајте слику и обележите прав угао.

AC: 6
BC: 6
Полупречник описане: 3,46
Полупречник уписане: 1,73

На почетку је троугао једнакостраничан: све четири тачке се поклапају, а

r_o

је тачно двоструко веће од

r_u

. Док је

AC = BC

, тачке

O

,

S

,

T

и

H

остају на висини из

C

. Померите

C

у страну и оне се раздвајају.

Тежиште једнакостраничног троугла је и центар уписане и описане кружнице, па га мајстори користе кад на троугаону плочу, знак или сто постављају нешто округло тачно на средину.

Сат на троугаоној табли

Столар у Нишу прави дрвену таблу у облику једнакостраничног троугла висине 54 cm. На средину табле жели да постави округли сат, што већи, али тако да не прелази ивице. Колики може бити полупречник сата и колико ће центар сата бити удаљен од сваког темена?

Решење

Највећи круг у троуглу је уписани круг. Код једнакостраничног троугла његов центар је и тежиште и лежи на висини.
Тежиште дели висину у односу $2 : 1$ , па је $r_u = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot 54 = 18$ cm.
Растојање центра од темена је $r_o = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot 54 = 36$ cm.
Провера: $r_o + r_u = 36 + 18 = 54$ cm, колико је и висина.

Одговор: Сат може имати полупречник највише 18 cm, а његов центар је 36 cm удаљен од сваког темена.

Задатак за вежбу

Висина која одговара основици једнакокраког троугла износи 2,4 dm. Колико је тежиште тог троугла удаљено од врха $C$ , а колико од основице?

Прикажи решење

Висина на основицу је уједно тежишна дуж, па је тежиште $\frac{2}{3} \cdot 2{,}4 = 1{,}6$ dm удаљено од врха, а $\frac{1}{3} \cdot 2{,}4 = 0{,}8$ dm од основице.