Питагорина теорема – конструкције

Примена Питагорине теореме код конструкција.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Конструисати дуж дужине $\sqrt 2 cm$ .

Пр.2) Конструисати дужи дужине:

а) $\sqrt {10} cm$ б) $\sqrt {13} cm$ в) $\sqrt {29} cm$

Пр.3) Конструисати дуж дужине $\sqrt 3 cm$ .

Пр.4) Конструисати дужи дужине:

а)

\sqrt 8 cm

б)

\sqrt {24} cm

в)

\sqrt 5 cm

Дуж дужине $\sqrt{n}$ cm конструише се као страница правоуглог троугла. Ако је $n$ збир два квадрата, на пример $13 = 2^2 + 3^2$ , нацртајте прав угао, на краке нанесите 2 cm и 3 cm, и хипотенуза је $\sqrt{13}$ cm. Ако је $n$ разлика два квадрата, на пример $3 = 2^2 - 1^2$ , тада је $\sqrt{n}$ катета: на један крак нанесите 1 cm, па из тог краја шестаром отвора 2 cm пресеците други крак. Друга катета је $\sqrt{3}$ cm.

Може и корак по корак: хипотенуза троугла са катетама $\sqrt{2}$ и 1 је $\sqrt{3}$ , затим $\sqrt{4}$ , $\sqrt{5}$ и тако даље. Пре цртања проверите рачун: $\sqrt{29}$ је хипотенуза троугла са катетама 5 cm и 2 cm, јер је $25 + 4 = 29$ .

Катета a5 cm

Катета b3 cm

a² + b²: 34
Хипотенуза √(a² + b²): 5,831 cm

Изаберите катете тако да

a^2 + b^2

буде број чији корен тражите: за

\sqrt{34}

то су 5 и 3. Шестар из

O

преноси хипотенузу на осу

x

, у тачку

S

на растојању

\sqrt{a^2 + b^2}

од

O

.

Овако се у техничком цртању и геометријским шарама, на плочицама, витражима и интарзијама, добијају тачне дужине $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ или $\sqrt{13}$ , без заокруживања децимала.

Тачна дуж без децимала

На часу технике и технологије треба нацртати дуж дугачку тачно $\sqrt{34}$ cm, а затим и дуж од $\sqrt{21}$ cm. Лењир има само милиметре, а $\sqrt{34} \approx 5{,}83$ . Како да се обе дужи конструишу тачно?

Решење

Пошто је $34 = 25 + 9 = 5^2 + 3^2$ , дуж $\sqrt{34}$ cm је хипотенуза правоуглог троугла са катетама 5 cm и 3 cm.
Нацртамо прав угао, на један крак нанесемо 5 cm, а на други 3 cm. Дуж која спаја те тачке има $\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$ cm.
Пошто је $21 = 25 - 4 = 5^2 - 2^2$ , дуж $\sqrt{21}$ cm је катета троугла са хипотенузом 5 cm и другом катетом 2 cm.
На један крак правог угла нанесемо 2 cm, па из краја те дужи шестаром отвора 5 cm пресечемо други крак. Од темена до пресека је $\sqrt{25 - 4} = \sqrt{21} \approx 4{,}58$ cm.

Одговор: Дуж $\sqrt{34}$ cm је хипотенуза троугла са катетама 5 cm и 3 cm, а дуж $\sqrt{21}$ cm је катета троугла са хипотенузом 5 cm и другом катетом 2 cm.

Задатак за вежбу

Како бисте конструисали дуж дужине $\sqrt{20}$ cm, а како дуж дужине $\sqrt{7}$ cm?

Прикажи решење

$20 = 4^2 + 2^2$ , па је $\sqrt{20}$ cm хипотенуза троугла са катетама 4 cm и 2 cm. $7 = 4^2 - 3^2$ , па је $\sqrt{7}$ cm катета троугла са хипотенузом 4 cm и катетом 3 cm.