Одређеност равни, међусобни положај праве и равни

Одређеност равни, међусобни положај праве и равни. Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Колико равни је одређено са 4 некомпланарне тачке?

Пр.1)

Пошто су ове некомпланарне тачке ми ћемо правити групе од три тачаке и свака од тих група одређује једну раван.

$r\left( {A,B,C} \right),r\left( {A,B,D} \right),r\left( {A,C,D} \right),r\left( {B,C,D} \right)$

Дакле добили смо 4 равни.

Раван је одређена са три тачке које нису на истој правој, што пишемо $r(A, B, C)$ . Одређују је и права и тачка ван ње, две праве које се секу и две паралелне праве. Тачке које леже у истој равни су компланарне. Четири некомпланарне тачке одређују четири равни, по једну за сваку тројку тачака.

Права и раван могу бити у три положаја: права лежи у равни, продире раван у тачно једној тачки или је паралелна са њом и нема заједничких тачака. Запамтите: ако две тачке праве леже у равни, у њој лежи цела права. Зато права која није у равни има са њом највише једну заједничку тачку.

Висина краја D изнад равни ABC0,75

Растојање краја D од равни ABC: 0,75
Број равни кроз по три краја: 4

Кад крај ноге

D

није у равни

ABC

, четири краја одређују 4 различите равни, па се столица клацка око дијагонале

AC

, из равни

ABC

у раван

ACD

. Кад је висина краја

D

једнака 0, све четири тачке леже у једној равни.

Фотографи и геометри постављају апарате на стативе са три ноге: три тачке увек одређују раван, па сталак не клима ни на неравном терену. Сто или столица са четири ноге мора се подесити да би сва четири краја била у равни пода.

Столица која клима

Столица са четири ноге клима се на равном поду, јер јој је једна нога мало краћа. Крајеви ногу $A$ , $B$ , $C$ и $D$ зато нису у истој равни. Колико различитих равни одређују крајеви ногу и зашто троножна столица никад не клима?

Решење

Три тачке које нису на истој правој одређују тачно једну раван, па од четири некомпланарне тачке бирамо по три.
Тројке дају равни $r(A, B, C)$ , $r(A, B, D)$ , $r(A, C, D)$ и $r(B, C, D)$ , дакле 4 различите равни.
Под садржи највише три краја ногу, па столица стоји на три ноге, а четврта виси. Кад се на ту страну ослоните, столица се нагне на другу тројку ногу и зато клима.
Крајеви три ноге троношца увек леже у једној равни, па он увек стоји на све три ноге.

Одговор: Крајеви ногу одређују 4 равни, а троножна столица не клима јер три тачке увек леже у једној равни.

Задатак за вежбу

Дато је 5 тачака, од којих никоје четири нису компланарне (па никоје три нису ни колинеарне). Колико равни оне одређују?

Прикажи решење

Равни кроз тачку $A$ има онолико колико има парова међу преостале 4 тачке: $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ . Равни без тачке $A$ одређују тројке међу преостале 4 тачке, а њих има 4. Укупно $6 + 4 = 10$ равни.