Диедар

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Тачка $A$ се налази у унутрашњости правоуглог диедра. Од једне стране диедра је удаљена 6cm, а од друге стране 8cm. Израчунати колико је тачка $A$ удаљена од ивице тог диедра.

Пр.2)   Тачка $A$ се налази у унутрашњости правоуглог диедра и једнако је удаљена од обе стране диедра. Ако је тачка $A$ удаљена од ивице диедра 6cm, израчунати колико је удаљена од страна тог диедра.

Пр.3)   Тачка $A$ се налази на једној страни диедра и удаљена је од ивице диедра 24cm. Одредити колико је тачка удаљена од друге стране диедра, ако је нагибни угао диедра:

           а) ${60^ \circ }$    б) ${30^ \circ }$    в) ${45^ \circ }$.

Пр.1) Скицирамо правоугли диедар.Тачка $A$ се налази у унутрашњости диедра.

Спустићемо из тачки $A$ под правим углом праву на страни диедра, добићемо тачке $B$ и $D$. $AB = 6cm,AD = 8cm$. Потребно израчунати колико је тачка $A$ удаљена од ивице тог диедра или дужину $AC$.

$ABCD$ је правоугаоник, $AD = CB = 8cm$.

$\vartriangle ABC$  је прав, онда према Питагориноj теореми

$$\begin{aligned}&{x^2} = {6^2} + {8^2} \\ &{x^2} = 36 + 64 \\ &{x^2} = 100 \\ &x = 10cm\end{aligned}$$

Пр.2)

$ABCD$ је квадрат $AB = AD = a$

Дијагонала квадрата је $AC = d = 6cm$

$$\begin{aligned}&d = a\sqrt 2 \\ &6 = a\sqrt 2 \\ &a = \frac{6}{{\sqrt 2 }} = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \sqrt 2 }} = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 cm\end{aligned}$$

Пр.3) а)

На скици видимо да морамо израчунати катету  троугла $x$. Овај троугао пресликавамо на другу страну и добијемо једнакостранични троугао. Висину овог троугла израчунамо по формули:

$$\begin{aligned}&h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &h = \frac{{24\sqrt 3 }}{2} \\ &h = 12\sqrt 3 cm\end{aligned}$$

Ова висина je $h=x$

б) Скицирамо диедар и све податке.

Одвоjено направићемо скицу троугла. Овај троугао пресликаваћемо на другу страну и добијећемо једнакостранични троугао. Из овог троугла је лако израчунати колико је тачка удаљена од друге стране диедра.

$$\begin{aligned}&x = \frac{{24}}{2} \\ &x = 12cm\end{aligned}$$

в)

Направим скицу

Лако је видити да је потребно израчунати крак једнакокраког правоуглог троугла.

$$\begin{aligned}&{24^2} = {x^2} + {x^2} \\ &24 = x\sqrt 2 \\ &x = \frac{{24}}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \\ &x = \frac{{24\sqrt 2 }}{2} \\ &x = 12\sqrt 2 cm\end{aligned}$$