Експоненцијалне неједначине 5

Решавање експоненцијалне неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну неједначину.

пр.12) ${\left( {x - 3} \right)^{2{x^2} - 7x}} > 1$

пр.13) ${\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)^{\frac{{1 - 3x}}{{2x - 1}}}} > 1$

Кад је непозната и у основи и у изложиоцу, израз $b(x)^{e(x)}$ посматрате само тамо где је основа позитивна, $b(x) > 0$ . Пошто је $1 = b^0$ , неједначина $b^{e} > 1$ важи у два случаја: ако је $b > 1$ и $e > 0$ , или ако је $0 < b < 1$ и $e < 0$ . Краће, за $b > 0$ услов је $(b - 1) \cdot e > 0$ , што решавате табелом знакова. Тачке у којима је $b = 1$ искључите, јер је тада $1^e = 1$ . Ако је основа потпун квадрат, као $(x + 2)^2$ , она је позитивна за свако $x \neq -2$ . Честа грешка је размотрити само случај $b > 1$ и изгубити решења са основом између 0 и 1.

x1,5

Основа x − 1: 0,5
Изложилац x − 4: −2,5
Вредност: 5,657

Крива

y = (x - 1)^{x - 4}

је изнад праве

y = 1

где основа и изложилац „вуку“ на исту страну: основа већа од 1 и изложилац позитиван (

x > 4

) или основа мања од 1 и изложилац негативан (

1 < x < 2

). У

x = 2

и

x = 4

вредност је тачно 1.

Исто правило важи за сваки фактор раста: величина која се сваке године помножи бројем $q$ после неколико година је већа од почетне ако је $q > 1$ , а мања ако је $0 < q < 1$ . Кад гледамо уназад, изложилац је негативан и све је обрнуто.

Ко је у праву?

Ана тврди: „Кад је изложилац негативан, степен је мањи од 1, па је $(x - 1)^{x - 4} < 1$ за свако $x$ између 1 и 4.“ Марко за $x = 1{,}5$ добија $0{,}5^{-2{,}5} \approx 5{,}66$ . Ко је у праву и за које $x$ је $(x - 1)^{x - 4} > 1$ ?

Решење

Основа мора бити позитивна: $x - 1 > 0$ , тј. $x > 1$ . Пошто је $1 = (x - 1)^0$ , изложилац поредимо са нулом, а исход зависи од основе.
Ако је основа већа од 1, тј. $x > 2$ , функција расте и знак остаје: $x - 4 > 0$ , па је $x > 4$ .
Ако је основа између 0 и 1, тј. $1 < x < 2$ , функција опада и знак се окреће: $x - 4 < 0$ , што важи за свако такво $x$ . Ту Анина тврдња не важи: негативан изложилац уз основу мању од 1 даје број већи од 1.
За $x = 2$ основа је 1, а $1^{-2} = 1$ није веће од 1. Провера: за $x = 3$ је $2^{-1} = 0{,}5$ , а за $x = 5$ је $4^1 = 4$ .

Одговор: Марко је у праву: израз је већи од 1 за $x \in (1, 2) \cup (4, +\infty)$ . Анина тврдња не важи за $1 < x < 2$ , а ни за $x = 2$ , где је израз тачно 1.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $(2x - 1)^{x - 3} < 1$ .

Прикажи решење

Основа: $2x - 1 > 0$ , тј. $x > \frac{1}{2}$ . За $x > 1$ (основа већа од 1) треба $x - 3 < 0$ , па је $1 < x < 3$ . За $\frac{1}{2} < x < 1$ треба $x - 3 > 0$ , што је немогуће, а $x = 1$ даје $1 < 1$ . Решење је $x \in (1, 3)$ .