Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Тригонометријске функције

Дефиниције тригонометријских функција оштрог угла

Нека је троугао ABCABC правоугли, са правим углом код темена CC.

Означимо са aa и bb редом дужине катета BCBC и CACA, а са cc дужину хипотенузе ABAB троугла ABCABC. Нека је α=∡CAB\alpha=\measuredangle CAB и β=∡CBA\beta=\measuredangle CBA. Тада је:

pravougli trougao

  1. Синус: количник наспрмне стране и хипотенузе,sin⁡α=acsin⁡β=bc\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \sin \beta = \frac{b}{c}

  2. Косинус: количник налегле катете и хипотенузе,cos⁡α=bccos⁡β=ac\cos \alpha = \frac{b}{c} \quad \cos \beta = \frac{a}{c}

  3. Тангенс: количник наспрамне и налегле катете,tgα=abtgβ=batg \alpha = \frac{a}{b} \quad tg \beta = \frac{b}{a}

  4. Котангенс: количник налегле и наспрамне катете,ctgα=bactgβ=abctg \alpha = \frac{b}{a} \quad ctg \beta = \frac{a}{b}

  5. Секанс: количник хипотенузе и налегле катете,sec⁡α=cbsec⁡β=ca\sec \alpha = \frac{c}{b} \quad \sec \beta = \frac{c}{a}

  6. Косеканс: количник хипотенузе и наспрамне катетеcosecα=cacosecβ=cbcosec\alpha = \frac{c}{a} \quad cosec \beta = \frac{c}{b}

Тригонометријска кружница

Тригонометријска кружница kk  је кружница са центром у координатном почетку, OO полупречника 11.

Нека је φ\varphi произвољан угао посматран у смеру супротном смеру кретања казаљке на сату, почевши од позитивног дела OxOx-осе.

Тачка M(x,y)M\left( {x,y} \right) је тачка у којој други крак угла сече кружницу kk.

trigonometrijska kruznica1

Синус неког угла у правоуглом троуглу је однос наспрамне катете и хипотенузе, па је sin⁡φ=b1=b\sin \varphi=\frac{b}{1}=b. Видимо да sin⁡φ\sin \varphi можемо очитати спуштајући нормалу из тачке ММ на yy-осу.

Косинус неког угла представља однос налегле катете и хипотенузе у правоуглом троуглу, па је cos⁡φ=a1=a\cos \varphi=\frac{a}{1}=a. Видимо да cos⁡φ\cos \varphi можемо очитати спуштајући нормалу из тачке ММ на xx-осу.

trigonometrijska kruznica2

Тангенс неког угла једнак је односу наспрамне и налегле катете, па је tgφ=c1=ctg \varphi=\frac{c}{1}=c. Видимо да тангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са yy-осом.

Котангенс неког угла једнак је односу налегле и наспрамне катете, па је ctgφ=d1=dctg \varphi=\frac{d}{1}=d. Видимо да кoтангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са xx-осом.

trigonometrijska kruznica

Како угловима φ+2kπ, k∈Z\varphi + 2k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z} на кружници kk одговара иста тачка MM, важи

sin⁡(φ+2kπ)=sin⁡φcos⁡(φ+2kπ)=cos⁡φ\sin \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \sin \varphi \quad \cos \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \cos \varphi

Угловима φ+kπ, k∈Z\varphi + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z} одговарају исти одсечци на тангентама, и важи

tg(φ+kπ)=tgφ,ctg(φ+kπ)=ctgφ.tg\left( {\varphi + k\pi } \right) = tg\varphi, \quad ctg\left( {\varphi + k\pi } \right) = ctg\varphi.

Тачка M(x,y)=M(cos⁡φ,sin⁡φ)M\left( {x,y} \right) = M\left( {\cos \varphi,\sin \varphi} \right) припада кружници kk за свако φ∈R\varphi \in \mathbb{R}, и важи

−1⩽sin⁡φ⩽1,−1⩽cos⁡φ⩽1- 1 \leqslant \sin \varphi \leqslant 1, \quad - 1 \leqslant \cos \varphi \leqslant 1, 

sin⁡2φ+cos⁡2φ=1{\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1

Знак тригонометријских функција по квадрантима

znak trig fja

Свођење на први квадрант

Следеће формуле важе за сваки угао α\alpha, али се првенствено користе када је α\alpha оштар угао:

sin⁡(−α)=−sin⁡α,\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha,

cos⁡(−α)=cos⁡α,\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha,

tg(−α)=−tgα,tg\left( { - \alpha } \right) = - tg\alpha,

ctg(−α)=−ctgα.ctg\left( { - \alpha } \right) = - ctg\alpha.

sin⁡cos⁡tgctg}(2kπ+α)=sin⁡cos⁡tgctg}α\left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\sin } \\ {\cos } \\ {tg} \\ {ctg} \end{array}} \right\}\left( {2k\pi + \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\sin } \\ {\cos } \\ {tg} \\ {ctg} \end{array}} \right\}\alpha

sin⁡cos⁡tgctg}(π±α)=∓sin⁡−cos⁡±tg±ctg}α\left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\sin } \\ {\cos } \\ {tg} \\ {ctg} \end{array}} \right\}\left( {\pi \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { \mp \sin } \\ { - \cos } \\ { \pm tg} \\ { \pm ctg} \end{array}} \right\}\alpha

sin⁡cos⁡tgctg}(π2±α)=+cos⁡∓sin⁡∓ctg∓tg}α\left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\sin } \\ {\cos } \\ {tg} \\ {ctg} \end{array}} \right\}\left( {\frac{\pi }{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { + \cos } \\ { \mp \sin } \\ { \mp ctg} \\ { \mp tg} \end{array}} \right\}\alpha

sin⁡cos⁡tgctg}(3π2±α)=−cos⁡±sin⁡∓ctg∓tg}\left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\sin } \\ {\cos } \\ {tg} \\ {ctg} \end{array}} \right\}\left( {\frac{{3\pi }}{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - \cos } \\ { \pm \sin } \\ { \mp ctg} \\ { \mp tg} \end{array}} \right\}

Основни идентитети тригонометријских функција истог угла

sin⁡2α+cos⁡2α=1,{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,

tgα=sin⁡αcos⁡α,ctgα=cos⁡αsin⁡α,{\text{tg}}\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}, \quad{\text{ctg}}\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }},

tgα⋅ctgα=1t{\text{g}}\alpha \cdot {\text{ctg}}\alpha = 1

sin⁡α⋅cosecα=1,cos⁡α⋅sec⁡α=1,\sin \alpha \cdot cosec\alpha = 1, \quad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1,

sec⁡2α=1+tg2α,cosec2α=1+ctg2α,{\sec ^2 \alpha} = 1 + t{g^2}\alpha, \quad cose{c^2}\alpha = 1 + ct{g^2}\alpha,

cos⁡2α=11+tg2α=ctg2α1+ctg2α,{\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + t{g^2}\alpha }} = \frac{{ct{g^2}\alpha }}{{1 + ct{g^2}\alpha }},

sin⁡2α=11+ctg2α=tg2α1+tg2α.{\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ct{g^2}\alpha }} = \frac{{t{g^2}\alpha }}{{1 + t{g^2}\alpha }}.

Неке вредности тригонометријских функција

trigonometrijska kruznica sin cos

trigonometrijska kruznica tg ctg

tablica 1 png

Адиционе формуле

За свако α,β∈R\alpha ,\beta \in \mathbb{R} важи

sin⁡(α±β)=sin⁡α⋅cos⁡β±cos⁡α⋅sin⁡β,\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta,

cos⁡(α±β)=cos⁡α⋅cos⁡β∓sin⁡α⋅sin⁡β.\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta .

За свако α,β∈R\{π2+kπ:k∈Z}\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\} важи

tg(α±β)=tgα±tgβ1∓tgα⋅tgβ,(1∓tgαtgβ≠0).tg\left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{tg\alpha \pm tg\beta }}{{1 \mp tg\alpha \cdot tg\beta }}, \quad \left( {1 \mp tg\alpha tg\beta \ne 0} \right).

За свако α,β∈R\{kπ:k∈Z}\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\} важи

ctg(α±β)=ctgα⋅ctgβ∓1ctgα±ctgβ,(ctgα±ctgβ≠0).ctg\left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{ctg\alpha \cdot ctg\beta \mp 1}}{{ctg\alpha \pm ctg\beta }}, \quad \left( {ctg\alpha \pm ctg\beta \ne 0} \right).

Тригонометријске функције двоструког угла

sin⁡2α = 2sin⁡αcos⁡α,\sin 2\alpha {\text{ = }}2\sin \alpha \cos \alpha,

cos⁡2α = cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1,\cos 2\alpha {\text{ = }}{\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1,

tg2α=2tgα1−tg2α,ctg2α=ctg2α−12ctgα.tg2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }}, \quad ctg2\alpha = \frac{{ct{g^2}\alpha - 1}}{{2ctg\alpha }}.

Тригонометријске функције половине угла

sin⁡α2=±1−cos⁡α2,cos⁡α2=±1+cos⁡α2,\sin \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}, \quad \cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}} ,

tgα2=±1−cos⁡α1+cos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α,tg\frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }},

ctgα2=±1+cos⁡α1−cos⁡α=sin⁡α1−cos⁡α=1+cos⁡αsin⁡α.ctg\frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = } \frac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.

Трансформација збира и разлике тригонометријских функција у производ

sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2⋅cos⁡α∓β2,\sin \alpha \pm \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha \pm \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha \mp \beta }}{2},

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2⋅cos⁡α−β2,\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha - \beta }}{2},

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2⋅sin⁡α−β2,\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha - \beta }}{2},

tgα±tgβ=sin⁡(α±β)cos⁡α⋅cos⁡β,tg\alpha \pm tg\beta = \frac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }},

ctgα±ctgβ=sin⁡(β±α)sin⁡α⋅sin⁡β.ctg\alpha \pm ctg\beta = \frac{{\sin \left( {\beta \pm \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}.

Трансформација производа тригонометријских функција у збир или разлику

sin⁡α⋅sin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)],\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right],

sin⁡α⋅cos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)],\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right],

cos⁡α⋅cos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)].\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right].

Важније тригонометријске формуле

sin⁡α=2tgα21+tg2α2,cos⁡α=1−tg2α21+tg2α2,tgα=2tgα21−tg2α2,\sin \alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}, \quad \cos \alpha = \frac{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}, \quad {\text{tg}}\alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}},

sin⁡α+sin⁡2α+sin⁡3α+...+sin⁡nα=cos⁡α2−cos⁡(2n+1)α22sin⁡α2,\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + ... + \sin n\alpha = \frac{{\cos \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}},

cos⁡α+cos⁡2α+cos⁡3α+...+cos⁡nα=−sin⁡α2+sin⁡(2n+1)α22sin⁡α2.\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + ... + \cos n\alpha = \frac{{ - \sin \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}}.

Тригонометријске функције оштрог угла α\alpha у правоуглом троуглу са катетама aa и bb и хипотенузом cc су односи страница: sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c} (наспрамна катета кроз хипотенузу), cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c} (налегла катета кроз хипотенузу), tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} и ctg⁡α=ba\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a}. На тригонометријској кружници, са центром у координатном почетку и полупречником 1, угао φ\varphi одређује тачку M(cos⁡φ,sin⁡φ)M(\cos\varphi, \sin\varphi). Тако се дефиниције проширују на углове било које величине, а знак функција зависи од квадранта.

Из Питагорине теореме следи основни идентитет sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, а уз њега важе tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} и tg⁡α⋅ctg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1: из једне познате функције угла израчунавате остале. Честа грешка је замена наспрамне и налегле катете, зато их увек одређујте у односу на угао који посматрате.

α = 30°1−11−1OxyIIIIIIIVPtg αctg αsin αcos αα
sin α
0,5
cos α
0,866
tg α
0,5774
sin²α + cos²α
1
Синус је висина тачке на кружници, а косинус њена хоризонтална координата. Пратите како се знаци мењају по квадрантима и приметите да је sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha увек 1, а да тангенс нема вредност за 90∘90^\circ и 270∘270^\circ.

Геодете и грађевинари из једног измереног угла и једне дужине рачунају висине и растојања која не могу директно да измере, као што су висина зграде или нагиб пута и крова. Синус и косинус описују и периодична кретања: наизменичну струју, звук и њихање клатна.

Нагиб планинског пута

На путу ка планини стоји саобраћајни знак за нагиб од 12 %. То значи да пут на 100 m хоризонталне даљине расте 12 m, односно tg⁡α=0,12\operatorname{tg}\alpha = 0{,}12, где је α\alpha угао пута према хоризонтали. Аутомобил пређе 1500 m тим путем. За колико метара се попео?

Решење

  1. Пут, хоризонтала и висина чине правоугли троугао: пређени пут од 1500 m је хипотенуза, а висина hh је катета наспрам угла α\alpha. Зато је h=1500⋅sin⁡αh = 1500 \cdot \sin\alpha.
  2. Синус добијамо из тангенса: sin⁡2α=tg⁡2α1+tg⁡2α=0,01441,0144≈0,014196\sin^2\alpha = \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{0{,}0144}{1{,}0144} \approx 0{,}014196, па је sin⁡α≈0,11915\sin\alpha \approx 0{,}11915.
  3. Висина је h≈1500⋅0,11915≈178,7h \approx 1500 \cdot 0{,}11915 \approx 178{,}7 m.
  4. Рачун 1500⋅0,12=1801500 \cdot 0{,}12 = 180 m био би погрешан: тангенс је количник висине и хоризонталне даљине, а не висине и пређеног пута. Код благих нагиба разлика је мала, али постоји.

Одговор: Аутомобил се попео приближно 178,7 m.

Задатак за вежбу

Мердевине дужине 5 m ослоњене су на зид, а њихово подножје је 1,4 m од зида. Нека је α\alpha угао између мердевина и тла. Израчунајте cos⁡α\cos\alpha, sin⁡α\sin\alpha и tg⁡α\operatorname{tg}\alpha, као и висину до које мердевине досежу.

Прикажи решење

cos⁡α=1,45=0,28\cos\alpha = \frac{1{,}4}{5} = 0{,}28, sin⁡α=1−0,282=0,9216=0,96\sin\alpha = \sqrt{1 - 0{,}28^2} = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96, tg⁡α=0,960,28=247≈3,43\operatorname{tg}\alpha = \frac{0{,}96}{0{,}28} = \frac{24}{7} \approx 3{,}43. Мердевине досежу до висине 5⋅0,96=4,85 \cdot 0{,}96 = 4{,}8 m.