Системи линеарних једначина – дефиниције и особине

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Општи облик:

 \[\left\{ \begin{gathered}
  {a_1}x + {b_1}y = {c_{\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
   
\end{array}}} \hfill \\
  {a_2}x + {b_2}y = {c_{\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
   
\end{array}}} \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]

где су $x,y$ - непознате,   а   ${a_1},{b_1},{c_{\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
   
\end{array}}},{a_{2,}}{b_2},{c_2}$ - реални бројеви.

Уколико у задатку не добијете систем у општем облику, пожељно је да га еквивалентним трансформацијама сведете на тај облик. У том смислу, треба обратити пажњу да исте непознате увек пишете једне испод других, ради прегледности и ради лакшег сналажења у систему.

Решење система је уређени пар $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ за који важи:

\[\left\{ \begin{gathered}
  {a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} = {c_{\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
   
\end{array}}} \hfill \\
  {a_2}{x_0} + {b_2}{y_0} = {c_{\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
   
\end{array}}} \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]

Методе за решавање система линеарних једначина са две непознате:

• METОДА ЗАМЕНЕ

Идеја методе замене је да из једне од једначина изразимо неку променљиву, а потом израз за ту променљиву уврстимо у другу једначину и на тај начин добијемо једну једначину са једном напознатом.

Општа идеја изгледа овако:

Друга једначина сада постаје ${a_2}\frac{{{c_1} - {b_1}y}}{{{a_1}}} + {b_2}y = {c_2}$ ( или ${a_2}\frac{{{c_1} - {b_1}y}}{{{a_1}}} + {b_2}y = {c_2}$), а  то је једначина са једном непознатом.

Када из једначине са једном непознатом изразимо прву непознату  у облику $x = {x_0}$   (односно  $y = {y_0}$), онда на основу израза означеног са (*) можемо добити и другу непознату.

На крају, решење нашег система је уређени пар $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$

Водите рачуна о томе да када одлучите да радите методу замене, у првом кораку изаберете да изразите ону променљиву која ће вам у даљем решавању задатка задати што мање мука. Најбоља варијанта је изражавати ону променљиву уз коју стоји коефицијент 1 (ако таква постоји).

• ГАУСОВА МЕТОДА (МЕТОДА СУПРОТНИХ КОЕФИЦИЈЕНАТА)

Овде је идеја модификовати обе једначине тако да свака од њих садржи супротне коефицијенте који стоје уз исту променљиву. После овакве модификације, саберемо 2 једначине, и поменута променљива нам се изгуби. Оно што преостане је једначина са једном непознатом. Из ње изразимо непознату, а уврштавањем вредности те непознате у једну од почетне две једначине, можемо изразити и другу променљиву. На крају, решење система је уређени пар $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$.

Ову методу ћемо илустровати примером:

Решење система је уређени пар $\left( {1, - 1} \right)$

И код ове методе важи да модификацијама система које радимо тежимо да постигнемо облик што једноставнији за рачунање.

Обе методе доводе до истог решења, те је на вама да изаберете ону методу која вам се у датом задатку учини погоднијом за решавање.

Системи код којих добијемо једно решење (односно један уређени пар решења) називају се одређени системи. Осим њих постоје тзв. неодређени системи (системи који имају бесконачно много решења) и контрадикторни (немогући) системи (системи који немају ниједно решење).