Линеарна функција – дефиниције и особине

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Функција је математички појам који представља пресликавање чланова једног скупа на други.

Код математичког пресликавања тј.функције један оригинал може имати само једну слику, јер у супротном пресликавање није функција, односно:

Линеарна функција дефинисана на скупу реалних бројева je функција $y = f\left( x \right)$  одређена са

\[y = kx + n\]

где су   $k$   и  $n$  - реални бројеви.

Функција записана на овај начин назива се експлицитно задата функција.

• $k$ је коефицијент правца линеарне функције

• $n$ је слободан члан који представља одсечак на $y$ - oси.

Осим у експлицитном, функција може бити задата и у имплицитном облику, односно у облику

 \[ax + by + c = 0\]

Треба водити рачуна о томе да коефицијент правца и вредност одсечка на $y$ - oси можемо читати само из експлицитног облика.

Дефинисаност функције на скупу реалних бројева значи да за сваку вредност $x$ можемо пронаћи одговарајућу вредност $y = kx + n$.

График линеарне функције је права чије је „понашање“ одређено управо вредностима $k$ и $n$. Њу уцртавамо у координатни систем представљен помоћу две осе које се секу под правим углом. Доња оса означава вредност координате $x$ док су на оси са леве стране приказане вредности $y$.

За $k > 0$ функција је растућа и њен график је облика:

За $k < 0$ функција је опадајућа и њен график је облика:

За $k = 0$ график функције је паралелан са осом $x$, а осу $y$ сече у вредности $n$.

Раст функције $y = kx + n$ говори нам о томе да  за пораст вредности $x$ расте и вредност  $y$.

Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика $y = 2x - 1$, тада имамо:

за  $x = 1,y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$  ( А )

за  $x = 2,y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$  ( B )

Прикажимо то графички:

Обратите пажњу на начин записа тачака на графику.

Координате тачке записујемо у облику $\left( {x,y} \right)$ односно на прво место стављамо координату коју читамо на  $x$- оси , док на друго место иде координата коју читамо са $y$- осе. $A\left( {1,1} \right)B\left( {2,3} \right)$

Функције нам говори да за повећање вредности $x$ имамо смањивање вредности $y$.

Нпр. ако нам је задата линеарна функција облика $y =  - 2x + 1$, тада имамо:

за $x = 1,y = - 2 \cdot 1 + 1 =  - 1$   ( А )

за $x = 2,y =  - 2 \cdot 2 + 1 =  - 3$   ( B )

Прикажимо то графички:

Обратите пажњу:

• За $k > 0$ функција је растућа. Међутим, што се вредност $k$ повећава, функција расте све брже, односно њен нагиб је све већи.
• За $k < 0$ функција је опадајућа. Међутим, што је вредност $k$ мања, функција опада све брже, односно пад је све оштрији.

Ако је  $k=0$,   вредност  $y$   је једнака за све вредности   $x$ .

Као што је раније помињано, вредност $n$ означава величину одсечка на $y$-оси. Посматрајмо сада три различите линеарне функције (означићемо те праве словима $a,b,c$) са једнаким коефицијентом $k$, а нека се вредности за $n$ разликују.

Графички:

Посматрајмо шта се код све три праве дешава за $x=0$.

Видимо да права $a$ тада сече $y$-осу у тачки А(0,1), права $b$ у тачки В(0,3), а права $c$ у тачки С(0,-4).

Вредности 1,3,-4 управо су вредности параметра $n$ за ове праве $a,b,c$ редом.

Из последњег графичког приказа, можемо приметити да су ове три праве паралелне. Њихови коефицијенти правца једнаки. Закључујемо:

Две праве (или више њих) су паралелне уколико имају једнаке коефицијенте правца.

Како цртамо график функције?

Нпр. желимо да нацртамо график функције $y = 2x + 1$.

За цртање графика линеарне функције, довољне су нам само две тачке. Бирамо произвољно две вредности за $x$ , и за њих израчунамо вредност $y$.  Добијамо 2 тачке које представљамо уређеним паровима $\left( {x,y} \right)$.   Уцртамо ове две тачке у координатни систем,а затим кроз те две тачке повучемо праву.

$x = 1,y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$      $A\left( {1,3} \right)$

$x = 0,y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$      $B\left( {0,1} \right)$

Корак1:

Корак2:

Решење једначине $kx + n = 0$, ${x_0} =  - \frac{n}{k}$, $k \ne 0$ назива се нула функције. Ово је заправо тачка пресека праве  $y = kx + n$ са  $x$ - осом.

Нпр. за линеарну функцију  $y = 2x + 1$, нула функције је решење једначине $2x + 1 = 0$ а то је вредност $x =  - \frac{1}{2}$.

Приметимо да је лево од тачке $C\left( { - \frac{1}{2},0} \right)$ знак функције негативан, односно вредност $y$ је мања од 0 за све вредности $x$ које су мање од ${ - \frac{1}{2}}$. За вредности $x$ веће од ${ - \frac{1}{2}}$, вредност функције је позитивна.

Запишимо ово мало прегледније помоћу таблице:

Водите рачуна о следећем:

• Права   $y=0$   је   $x$-oca
• Права   $x=0$   је   $y$-oca
• Права   $x=c$    је паралелна са  $y$-oсом,   а  $x$-осу  сече у тачки са координатама $(c,0)$.

Графички приказ функције $x=2$: