ЧЕТВОРОУГАО
Четвороугао је многоугао који има четири странице.
Збир унутрашњих углова четвороугла је ${360^ \circ }$, oдносно важи \[\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ }\]
Збир спољашњих углова четвороугла је такође ${360^ \circ }$ oдносно \[\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = {360^ \circ }\]
Посматраћемо 3 групе четвороуглова: паралелограме, делтоиде и трапезе.
Паралелограм:
- - је четвороугао који има два пара наспрамних паралелних страница.
- - Наспрамне странице паралелограма су једнаке \[\left( {AB = CD,BC = AD} \right)\]
- - Дијагонале паралелограма се секу и полове се.
- - Збир свака два суседна угла паралелограма је ${180^ \circ }$
- - Наспрамни углови паралелограма су једнаки $\left( {\alpha = \gamma ,\beta = \delta } \right)$
Правоугаоник:
- - је паралелограм коме су сви унутрашњи углови прави.
- - Дијагонале правоугаоника се секу и полове се.
- - Око сваког правоугаоника се може описати кружница.
Ромб:
- - је паралелограм коме су све странице једнаке.
- - Дијагонале ромба су међусобно нормалне.
- - У сваки ромб се може уписати кружница.
Квадрат:
- - је правоугаоник чије су све странице једнаке.
- - Сви унутрашњи углови квадрата су прави.
- - Дијагонале квадрата су једнаке, нормалне су једна на другу и полове се.
- - У квадрат се може уписати кружница.
- - Око квадрата се може описати кружница.
Трапез:
- - је четвороугао који има један пар паралелних страница које се зову основице.
- - Друге две (непаралелне) странице трапеза називају се краци.
Уколико су краци трапеза једнаки, зовемо га једнакокраки трапез. За њега важи:
- - Углови на истој основици су једнаки.
- - Дијагонале једнакокраког трапеза су једнаке.
Средња линија трапеза је дуж која спаја средишта кракова тог трапеза. Она је паралелна основицама и једнака половини њиховог збира.
\[m = \frac{{a + b}}{2}\]
Уколико је један крак трапеза нормалан на основице, такав трапез називамо правоугли трапез.
Делтоид:
- - је четвороугао чије су дијагонале нормалне и једна од њих полови другу. (нпр. дијагонала $d_1$ сече дијагоналу $d_2$ на пола).
- - има два пара једнаких суседних страница.
Обим и површина четвороугла
Паралелограм:
\[\begin{gathered}
O = 2\left( {a + b} \right) \hfill \\
P = a \cdot {h_a} = b \cdot {h_b} \hfill \\
\end{gathered} \]
Ромб:
\[\begin{gathered}
O = 4a \hfill \\
P = ah = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \hfill \\
r = \frac{h}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]
где је $r$ полупречник уписане кружнице.
Напомена: За сваки четвороугао код кога се дијагонале секу под правим углом важи:
\[P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2}\]
Правоугаоник:
\[\begin{gathered}
O = 2\left( {a + b} \right) \hfill \\
P = a \cdot b \hfill \\
R = \frac{d}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]
где је $R$ полупречник oписане кружнице.
Квадрат:
\[\begin{gathered}
O = 4a \hfill \\
P = {a^2} \hfill \\
r = \frac{a}{2} \hfill \\
R = \frac{d}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]
где је $r$ полупречник уписане кружнице, a $R$ полупречник oписане кружнице.
Трапез:
\[\begin{gathered}
O = a + b + c + d \hfill \\
P = m \cdot h = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \hfill \\
\end{gathered} \]
Делтоид (четвороугао са нормалним дијагоналама):
\[P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2}\]
