Четвороуглови – дефиниције и особине

ЧЕТВОРОУГАО

Четвороугао је многоугао који има четири странице.

Збир унутрашњих углова четвороугла је ${360^ \circ }$, oдносно важи \[\alpha  + \beta  + \gamma  + \delta  = {360^ \circ }\]

Збир спољашњих углова четвороугла је такође ${360^ \circ }$ oдносно \[\alpha_1  + \beta_1  + \gamma_1  + \delta_1  = {360^ \circ }\]

Посматраћемо 3 групе четвороуглова: паралелограме, делтоиде и трапезе.

Паралелограм:

• - је четвороугао који има два пара наспрамних паралелних страница.
• - Наспрамне странице паралелограма су једнаке \[\left( {AB = CD,BC = AD} \right)\]
• - Дијагонале паралелограма се секу и полове се.
• - Збир свака два суседна угла паралелограма је ${180^ \circ }$
• - Наспрамни углови паралелограма су једнаки $\left( {\alpha  = \gamma ,\beta  = \delta } \right)$

Правоугаоник:

• - је паралелограм коме су сви унутрашњи углови прави.
• - Дијагонале правоугаоника се секу и полове се.
• - Око сваког правоугаоника се може описати кружница.

Ромб:

• - је паралелограм коме су све странице једнаке.
• - Дијагонале ромба су међусобно нормалне.
• - У сваки ромб се може уписати кружница.
  

Квадрат:

• - је правоугаоник чије су све странице једнаке.
• - Сви унутрашњи углови квадрата су прави.
• - Дијагонале квадрата су једнаке, нормалне су једна на другу и полове се.
• - У квадрат се може уписати кружница.
• - Око квадрата се може описати кружница.

Трапез:

• - је четвороугао који има један пар паралелних страница које се зову основице.
• - Друге две (непаралелне) странице трапеза називају се краци.

Уколико су краци трапеза једнаки, зовемо га једнакокраки трапез. За њега важи:

• - Углови на истој основици су једнаки.
• - Дијагонале једнакокраког трапеза су једнаке.

Средња линија трапеза је дуж која спаја средишта кракова тог трапеза. Она је паралелна основицама и једнака половини њиховог збира.

 \[m = \frac{{a + b}}{2}\]

Уколико је један крак трапеза нормалан на основице, такав трапез називамо правоугли трапез.

 Делтоид:

• - је четвороугао чије су дијагонале нормалне и једна од њих полови другу. (нпр. дијагонала $d_1$ сече дијагоналу $d_2$ на пола).
• - има два пара једнаких суседних  страница.

Обим и површина четвороугла

Паралелограм:

 \[\begin{gathered}
  O = 2\left( {a + b} \right) \hfill \\
  P = a \cdot {h_a} = b \cdot {h_b} \hfill \\
\end{gathered} \]

Ромб:

 \[\begin{gathered}
  O = 4a \hfill \\
  P = ah = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \hfill \\
  r = \frac{h}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

где је $r$ полупречник уписане кружнице.

Напомена: За сваки четвороугао код кога се дијагонале секу под правим углом важи:

\[P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2}\]

Правоугаоник:

 \[\begin{gathered}
  O = 2\left( {a + b} \right) \hfill \\
  P = a \cdot b \hfill \\
  R = \frac{d}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

где је $R$ полупречник oписане кружнице.

Квадрат:

\[\begin{gathered}
  O = 4a \hfill \\
  P = {a^2} \hfill \\
  r = \frac{a}{2} \hfill \\
  R = \frac{d}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

где је $r$ полупречник уписане кружнице, a $R$ полупречник oписане кружнице.

Трапез:

\[\begin{gathered}
  O = a + b + c + d \hfill \\
  P = m \cdot h = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \hfill \\
\end{gathered} \]

Делтоид (четвороугао са нормалним дијагоналама):

 \[P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2}\]