Зарубљена купа – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Дужина полупречника веће базе зарубљене купе износи 8cm, висина 5cm, а изводница је нагнута према равни основе под углом од ${45^ \circ }$. Одреди површину и запремину ове купе.

Пр.2)   Изводница зарубљене купе је 5cm, a разлика полупречника основа је 3cm. Израчунати површину и запремину ове зарубљене купе ако знамо да је површина омотача једнака половини укупне површине зарубљене купе.

Пр.1)

\[\begin{gathered}
  H = {r_1} - {r_2} = 5 \hfill \\
  8 - {r_2} = 5 \hfill \\
  {r_2} = 3cm \hfill \\
   \hfill \\
  {s^2} = {H^2} + \left( {{r_1} - {r_2}} \right) \hfill \\
  {s^2} = {5^2} + {5^2} \hfill \\
  {s^2} = 50 \hfill \\
  s = 5\sqrt 2 cm \hfill \\
   \hfill \\
  P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
  P = r_1^2\pi  + r_2^2\pi  + s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \hfill \\
  P = {8^2}\pi  + {3^2}\pi  + 5\sqrt 2 \pi \left( {8 + 3} \right) \hfill \\
  P = 64\pi  + 9\pi  + 55\sqrt 2 \pi  \hfill \\
  P = \left( {73\pi  + 55\sqrt 2 \pi } \right)c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}}  + {B_2}} \right) \hfill \\
  V = \frac{5}{3}\left( {64\pi  + \sqrt {64\pi 9\pi }  + 9\pi } \right) \hfill \\
  V = \frac{{485}}{3}\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

\[\begin{gathered}
  {s^2} = {H^2} + \left( {{r_1} - {r_2}} \right) \hfill \\
  {s^2} = {5^2} + {3^2} \hfill \\
  {s^2} = 16 \hfill \\
  s = 4cm \hfill \\
   \hfill \\
  P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
  \frac{{{B_1} + {B_2} + M}}{2} = M \hfill \\
  {B_1} + {B_2} + M = 2M \hfill \\
  {B_1} + {B_2} = M \hfill \\
  r_1^2\pi  + r_2^2\pi  = s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \hfill \\
  \left( {{r_1} + {r_2}} \right)\pi  = s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \hfill \\
  {\left( {3 + {r_2}} \right)^2} + r_2^2 = 5\left( {3 + {r_2} + {r_2}} \right) \hfill \\
  9 + 6{r_2} + r_2^2 + r_2^2 = 15 + 10{r_2} \hfill \\
  2r_2^2 - 4{r_2} - 6 = 0 \hfill \\
  r_2^2 - 2{r_2} - 3 = 0 \hfill \\
  {r_{{2_{1,2}}}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 + 12} }}{2} = \frac{{2 \pm 4}}{2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
  {{r_2} =  - 1} \\
  {{r_2} = 3cm}
\end{array} \hfill \\
  {r_1} = 6cm \hfill \\
   \hfill \\
  P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
  P = r_1^2\pi  + r_2^2\pi  + s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \hfill \\
  P = 36\pi  + 9\pi  + 5\pi  \cdot 9 \hfill \\
  P = 90\pi c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}}  + {B_2}} \right) \hfill \\
  V = \frac{4}{3}\left( {36\pi  + \sqrt {36\pi 9\pi }  + 9\pi } \right) \hfill \\
  V = 84\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]