Ваљак – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Пречник основе правог ваљка је 12cm, а дијагонала осног пресека ваљка 13cm. Израчунати површину и запремину правилне тростране призме уписане у ваљак.

Пр.2)   У правилну четворострану призму запремине $128c{m^3}$ и дијагонале основе $4\sqrt 2 cm$ уписан је ваљак. Одреди површину ваљка.

Пр.3) Разлика висине и полупречника основе правог ваљка је 10cm. Израчунати запремину ваљка, ако знамо да је његова површина $144\pi c{m^2}$.

Пр.1) Означимо висину призме са ${H_p}$, висину ваљка са ${H_v}$. Онда ${H_p} = {H_v} = H$. $D$ је дијагонала осног пресека ваљка, $R$ је пречник основе ваљка, $r$ је полупречник основе ваљка, $a$ je страница базе призме,а ${h_a}$ је висина базе призме.

У плавом троуглу:

\[\begin{gathered}
  {H^2} = {D^2} - {R^2} \hfill \\
  {H^2} = 169 - 144 \hfill \\
  {H^2} = 25 \hfill \\
  H = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Израчунамо страницу троугла $a$

\[\begin{gathered}
  r = 6cm \hfill \\
  \frac{2}{3}{h_a} = 6 \hfill \\
  \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 6 \hfill \\
  \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = 6 \hfill \\
  a = 6\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Сад можемо израчунати површину и запремину призме.

\[\begin{gathered}
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3aH \hfill \\
  P = 2\frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} + 3 \cdot 6\sqrt 3  \cdot 5 \hfill \\
  P = 54\sqrt 3  + 90\sqrt 3  \hfill \\
  P = 144\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  V = BH \hfill \\
  V = 27\sqrt 3  \cdot 5 \hfill \\
  V = 135\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

\[\begin{gathered}
  d = 4\sqrt 2  \hfill \\
  {d^2} = {a^2} + {a^2} \hfill \\
  32 = 2{a^2} \hfill \\
  {a^2} = 16 \hfill \\
  a = 4cm \hfill \\
  r = \frac{a}{2} = 2cm \hfill \\
   \hfill \\
  {V_n} = 128 \hfill \\
  BH = 128 \hfill \\
  {a^2}H = 128 \hfill \\
  16H = 128 \hfill \\
  H = 8cm \hfill \\
   \hfill \\
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2{r^2}\pi  + 2r\pi  \cdot H \hfill \\
  P = 2 \cdot {2^2}\pi  + 2 \cdot 2\pi  \cdot 8 \hfill \\
  P = 8\pi  + 32\pi  \hfill \\
  P = 40\pi c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)

\[\begin{gathered}
  H - r = 10cm \hfill \\
  H = 10 + r \hfill \\
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2{r^2}\pi  + 2r\pi  \cdot H \hfill \\
  P = 2{r^2}\pi  + 2r\pi  \cdot \left( {10 + r} \right) \hfill \\
  144\pi  = 2{r^2}\pi  + 20r\pi  + 2{r^2}\pi  \hfill \\
  144\pi  = 4{r^2}\pi  + 20r\pi  \hfill \\
  144\pi  = 4\pi \left( {{r^2} + 5r} \right) \hfill \\
  36 = {r^2} + 5r \hfill \\
  {r^2} + 5r - 36 = 0 \hfill \\
  {r_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {25 + 144} }}{2} \hfill \\
  {r_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm 13}}{2} \hfill \\
  {r_1} =  - 9 \hfill \\
  {r_2} = 4cm \hfill \\
   \hfill \\
  H = 10 + r \hfill \\
  H = 10 + 4 \hfill \\
  H = 14cm \hfill \\
   \hfill \\
  V = B \cdot H \hfill \\
  V = {r^2}\pi  \cdot H \hfill \\
  V = {4^2}\pi  \cdot 14 \hfill \\
  V = 224\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]