Троугао и трапез – примери

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дужине странице троугла су 10cm, 17cm и 21cm. Одредити све висине троугла, полупречник уписане кружнице и полупречник описане кружнице.

Пр.2)   У једном трапезу површине $P = 32c{m^2}$ и висине $h = 4cm$ разлика основица је 6. Одредити дужине основица, а затим одредити дужину дијагонале.

Пр.1

\[\begin{gathered}
  P = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{b{h_b}}}{2} = \frac{{c{h_c}}}{2} \hfill \\
  P = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)}  \hfill \\
  s = \frac{{a + b + c}}{2} \hfill \\
  s = \frac{{10 + 17 + 21}}{2} \hfill \\
  s = 24cm \hfill \\
  P = \sqrt {24\left( {24 - 10} \right)\left( {24 - 17} \right)\left( {24 - 21} \right)}  \hfill \\
  P = \sqrt {7056}  \hfill \\
  P = 84c{m^2} \hfill \\
  {h_a} = \frac{{2P}}{a} \hfill \\
  {h_a} = \frac{{2 \cdot 84}}{{10}} = 16,8cm \hfill \\
  {h_b} = \frac{{2P}}{b} \hfill \\
  {h_b} = \frac{{2 \cdot 84}}{{17}} \approx 9,88cm \hfill \\
  {h_c} = \frac{{2P}}{c} \hfill \\
  {h_c} = \frac{{2 \cdot 84}}{{21}} = 8cm \hfill \\
  P = r \cdot s \hfill \\
  r = \frac{P}{s} \hfill \\
  r = \frac{{84}}{{24}} \hfill \\
  r = 3,5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2

\[\begin{gathered}
  P = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \hfill \\
  32 = \frac{{a + b}}{2} \cdot 4 \hfill \\
  a + b = 16 \hfill \\
   \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  a + b = 16 \hfill \\
  a - b = 6 \hfill \\
\end{gathered}  \right. + \left\{ \begin{gathered}
  2a = 22 \hfill \\
  a + b = 16 \hfill \\
\end{gathered}  \right.\left\{ \begin{gathered}
  a = 11 \hfill \\
  a + b = 16 \hfill \\
\end{gathered}  \right.\left\{ \begin{gathered}
  a = 11 \hfill \\
  11 + b = 16 \hfill \\
\end{gathered}  \right.\left\{ \begin{gathered}
  a = 11 \hfill \\
  b = 5 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
   \hfill \\
  x = 3 \hfill \\
  a - x = 8 \hfill \\
   \hfill \\
  {d^2} = {h^2} + {\left( {a - x} \right)^2} \hfill \\
  {d^2} = 16 + 64 \hfill \\
  {d^2} = 80 \hfill \\
  d = \sqrt {80}  = 4\sqrt 5 cm \hfill \\
\end{gathered} \]