Трећи разред средње школе Троуглови Четвороуглови 1 Четвороуглови 2 Шестоугао, трапез и круг Призма Троугао и трапез – примери Четвороуглови – примери 1 Четвороуглови – примери 2 Круг – примери Призма 1 Призма примери 1 Призма примери 2 Призма примери 3 Призма примери 4 Призма примери 5 Пирамида 1 Пирамида 2 Пирамида – примери 1 Пирамида – примери 2 Пирамида – примери 3 Пирамида – примери 4 Пирамида – примери 5 Зарубљена пирамида 1 Зарубљена пирамида 2 Зарубљена пирамида – примери 1 Зарубљена пирамида – примери 2 Ваљак – примери 1 Ваљак – примери 2 Купа – примери 1 Купа – примери 2 Зарубљена купа – примери 1 Лопта и полиедри 1 Лопта и полиедри 2 Лопта – примери 1 Лопта – примери 2 Лопта и полиедри – примери 1 Лопта и полиедри – примери 2 Лопта и полиедри – примери 3 Лопта и полиедри – примери 4 Детерминанте – дефиниција и особине Детерминанте – примери 1 Детерминанте трећег реда Детерминанте – Сарусово правило Детерминанте – примери 2 Детерминанте – примери 3 Крамерово правило Крамерово правило – примери 1 Крамерово правило – примери 2 Крамерово правило – примери 3 Крамерово правило – примери 4 Крамерово правило – примери 5 Аналитичка геометрија – вектори 1 Аналитичка геометрија – вектори 2 Аналитчка геометрија, вектори – примери 1 Аналитчка геометрија, вектори – примери 2 Аналитчка геометрија, вектори – примери 3 Аналитчка геометрија, вектори – примери 4 Аналитчка геометрија, вектори – примери 5 Аналитчка геометрија, вектори – примери 6 Аналитчка геометрија, вектори – примери 7 Скаларни производ вектора – примери 1 Скаларни производ вектора – примери 2 Скаларни производ вектора – примери 3 Скаларни производ вектора – примери 4 Векторски производ вектора Векторски производ вектора – примери 1 Векторски производ вектора – примери 2 Векторски производ вектора – примери 3 Векторски производ вектора – примери 4 Мешовит производ вектора Мешовит производ вектора – примери 1 Мешовит производ вектора – примери 2 Мешовит производ вектора – примери 3 Аналитичка геометрија у равни Аналитичка геометрија у равни – једначина праве 1 Аналитичка геометрија у равни – једначина праве 2 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 1 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 2 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 3 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 4 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 5 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 6 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 7 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 8 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 9 Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 10 Кружница 1 Кружница 2 Скаларни производ вектора Скаларни производ вектора – примери 2 Задаци Текст задатака објашњених у видео лекцији.Пр. 4) Вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ образују угао $\angle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{\pi }{6}$. Ако је $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 1$, израчунати угао између вектора $\overrightarrow p = \overrightarrow a + \overrightarrow b $ и $\overrightarrow q = \overrightarrow a - \overrightarrow b $Пр.4)\[\begin{gathered} \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = ? \hfill \\ \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \frac{{\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q }}{{\left| {\overrightarrow p } \right| \cdot \left| {\overrightarrow q } \right|}} \hfill \\ \overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = \hfill \\ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 3 - 1 = 2 \hfill \\ \left| {\overrightarrow p } \right| = ? \hfill \\ {\left| {\overrightarrow p } \right|^2} = \overrightarrow p \cdot \overrightarrow p = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = \hfill \\ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = \hfill \\ = 3 + 2 \cdot \frac{3}{2} + 1 = 7 \Rightarrow \left| {\overrightarrow p } \right| = \sqrt 7 \hfill \\ \hfill \\ {\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = \overrightarrow q \cdot \overrightarrow q = \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = \hfill \\ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1 = 1 \Rightarrow \left| {\overrightarrow q } \right| = 1 \hfill \\ \hfill \\ \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \frac{2}{{\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \hfill \\ \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \arccos \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \hfill \\ \end{gathered} \]
