Призма примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати површину и запремину правилне четворостране призме ако је њена дијагонала 25cm, а дијагонала њене бочне стране 20cm.

Пр.2)   Израчунати површину и запремину квадра ако се његове ивице односе као 2:6:9, а његова дијагонала је дужине 44cm.

Пр.1)

У овом задатку нам jе потребно израчунати површину $P$ и запремину $V$ правилне четворостране призме $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. 

Троугао $\vartriangle AB{D_1}$ jе прав троугао, онда по Питагориноj теореми $A{D_1}^2 + A{B^2} = B{D_1}^2$ или ${D^2} = {a^2} + {d_n}^2$. Тогда

\[a = \sqrt {{D^2} - {{d_n}^2}}  = \sqrt {625 - 400}  = \sqrt {225}  = 15см\]

Израчунамо висину призме $H$. Троугао $\vartriangle AD{D_1}$ jе прав троугао, онда по Питагориноj теореми имамо $A{D^2} + D{D_1}^2 = A{D_1}^2$ или ${d_n}^2 = {a^2} + {H^2}$. Тогда \[H = \sqrt {400 - 225}  = 5\sqrt 7см \] 

Сад можемо израчунати површину $P$ и запремину $V$.

\[\begin{gathered}
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2{a^2} + 4aH \hfill \\
  P = 2 \cdot {15^2} + 4 \cdot 15 \cdot 5\sqrt 7  \hfill \\
  \boxed{P = 150(3 + 2\sqrt 7 ){см^2}} \hfill \\
  V = B \cdot H \hfill \\
  V = {a^2} \cdot H \hfill \\
  \boxed{V = 1125\sqrt 7 {см^3}} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2) 

Основне ивице означимо са $a$ и $b$, а његову висину са $H$.

Тада нам у задатку дате да je

\[a:b:H = 2:6:9\]

имамо продужину пропорциjу коjу решавамо тако што \[a = 2k,b = 6k,H = 9k\]

Такође дата дијагонала квадра $D$ дужине 44cm.

У правоуглом троуглу $\vartriangle BD{D_1}$ катета $D{D_1}$ jе jеднако $H$, хипотенуза $B{D_1}$ je $D$, а другу катету $BD$ означимо са $d$:

\[\begin{gathered}
  {D^2} = {H^2} + {d^2} \hfill \\
  {D^2} = {H^2} + {a^2} + {b^2} \hfill \\
  {44^2} = {\left( {9k} \right)^2} + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {6k} \right)^2} \hfill \\
  1936 = 121{k^2} \hfill \\
  {k^2} = 16 \hfill \\
  k = 4 \hfill \\
\end{gathered} \]

Сад можемо лако израчунати \[a = 8,b = 24,H = 36\]

\[\begin{gathered}
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2ab + 2aH + 2bH \hfill \\
  P = 2 \cdot 8 \cdot 24 + 2 \cdot 8 \cdot 36 + 2 \cdot 24 \cdot 36 \hfill \\
  \boxed{P = 2688c{m^2}} \hfill \\
  V = B \cdot H \hfill \\
  V = abH \hfill \\
  \boxed{V = 6912c{m^3}} \hfill \\
\end{gathered} \]