Лопта и полиедри – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Око правилне тростране призме основне ивице 3cm и висине 4cm описана је лопта. Израчунати површину и запремину лопте.

Пр.2)   Око правилне четровостране пирамиде описана је лопта. Основна ивица пирамиде је $8\sqrt 2 cm$, бочна ивица је 10cm. Израчунати површину и запремину лопте.

Пр.1)

\[\begin{gathered}
   a= 3cm \hfill \\
  \underline {H = 4cm}  \hfill \\
  {P_L} = ?,{V_L} = ? \hfill \\
   \hfill \\
  {r_o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3  \hfill \\
   \hfill \\
  {R^2} = {\left( {\frac{H}{2}} \right)^2} + r_o^2 \hfill \\
  {R^2} = 4 + 3 \hfill \\
  R = \sqrt 7 cm \hfill \\
   \hfill \\
  {P_L} = 4{R^2}\pi  \hfill \\
  {P_L} = 4 \cdot 7\pi  \hfill \\
  {P_L} = 28\pi c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  {V_L} = \frac{4}{3}{R^3}\pi  \hfill \\
  {V_L} = \frac{4}{3}7\sqrt 7 \pi  \hfill \\
  {V_L} = \frac{{28}}{3}\sqrt 7 \pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

\[\begin{gathered}
   = 8\sqrt 2 cm \hfill \\
  \underline {s = 10cm}  \hfill \\
  {P_L} = ?,{V_L} = ? \hfill \\
   \hfill \\
  {r_o} = \frac{d}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{8 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 2 }}{2} \hfill \\
  {r_o} = 8cm \hfill \\
   \hfill \\
  {s^2} = {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2} + {H^2} \hfill \\
  100 = 64 + {H^2} \hfill \\
  H = 6cm \hfill \\
   \hfill \\
  {R^2} = r_o^2 + {\left( {H - R} \right)^2} \hfill \\
  {R^2} = 64 + {\left( {6 - R} \right)^2} \hfill \\
  12R = 100 \hfill \\
  R = \frac{{100}}{{12}} \hfill \\
  R = \frac{{25}}{3}cm \hfill \\
   \hfill \\
  {P_L} = 4{R^2}\pi  \hfill \\
  {P_L} = 4 \cdot \frac{{625}}{9}\pi  \hfill \\
  {P_L} = \frac{{2500}}{9}\pi c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  {V_L} = \frac{4}{3}{R^3}\pi  \hfill \\
  {V_L} = \frac{4}{3}{\left( {\frac{{25}}{3}} \right)^3}\pi  \hfill \\
  {V_L} = \frac{{62500}}{{81}}\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]