Четвороуглови – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.3)   Нека су ${d_1}$ и ${d_2}$ дијагонале паралелограма чији је оштар угао $\alpha  = {60^ \circ }$. Одредити $a:b$ ако је $d_1^2:d_2^2 = 3:1$.

Пр.4)   Израчунати површину и обим паралелограма ако је дужина страница правоугаоника $a = 6\sqrt 3 cm$, а оштар угао између дијагонала $\varphi  = {60^ \circ }$.

Пр.3

\[\begin{gathered}
  d_1^2 = 3d_2^2 \hfill \\
  d_2^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos {60^ \circ } \hfill \\
  d_2^2 = {a^2} + {b^2} - ab \hfill \\
   \hfill \\
  d_1^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos {120^ \circ } \hfill \\
  d_1^2 = {a^2} + {b^2} + ab \hfill \\
   \hfill \\
  d_1^2 = 3d_2^2 \hfill \\
  {a^2} + {b^2} + ab = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) \hfill \\
  {a^2} + {b^2} + ab = 3{a^2} + 3{b^2} - 3ab \hfill \\
   - 2{a^2} - 2{b^2} + 4ab = 0 \hfill \\
  {a^2} + {b^2} - 2ab = 0 \hfill \\
  {\left( {a - b} \right)^2} = 0 \hfill \\
  a - b = 0 \hfill \\
  a = b \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4

Знамо да у правоугаонику дијагонале једнаке и тачка пресека је њихово средиште, онда црвен троугао је једнакостранични. $b = \frac{d}{2}$

Зелени троугао је правоугли. Онда

\[\begin{gathered}
  {d^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\
  {d^2} = {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2} \hfill \\
  {d^2} = 108 + \frac{{{d^2}}}{4} \hfill \\
  4{d^2} = 432 + {d^2} \hfill \\
  3{d^2} = 432 \hfill \\
  {d^2} = 144 \hfill \\
  d = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[b = 12:2 = 6cm\]

\[\begin{gathered}
  O = 2a + 2b \hfill \\
  O = 12\sqrt 3  + 12 \hfill \\
  O = 12\left( {\sqrt 3  + 1} \right)cm \hfill \\
   \hfill \\
  P = a \cdot b \hfill \\
  P = 6\sqrt 3  \cdot 6 \hfill \\
  P = 36\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]