Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 5

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7)   Одредити једначину праве која пролази кроз тачку $M\left( { - 3,2} \right)$, а са

            позитивним делом $x$ - осе гради угао од ${135^ \circ }$.

Пр.8)   Одредити једначине страница, једначине тежишних дужи и

            координате тежишта троугла $A\left( {3,2} \right)$, $B\left( {5, - 2} \right)$ и $C\left( {1,0} \right)$.

Пр.7) 

$y - {y_1} = k\left( {x - {x_1}} \right)$ - једначина праве која пролази кроз тачку $M\left( {x_1,y_1} \right)$.

\[\begin{gathered}
k = tg{135^ \circ } = - 1 \hfill \\
y - 2 = - 1\left( {x + 3} \right) \hfill \\
y - 2 = - x - 3 \hfill \\
y = 2 - x - 3 \hfill \\
\underline {y = - x - 1} \hfill \\
\hfill \\
p:y = kx + n \hfill \\
y = - x + n \hfill \\
M \in p \Rightarrow 2 = 3 + n \Rightarrow n = - 1 \hfill \\
\underline {y = - x - 1} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.8)

$y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right)$ - једначина праве која пролази кроз тачкe $M_1\left( {x_1,y_1} \right)$ и $M_2\left( {x_2,y_2} \right)$.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{a = p\left( {BC} \right):}&{y + 2 = \frac{{0 + 2}}{{1 - 5}}\left( {x - 5} \right)} \\
{}&\begin{gathered}
y + 2 = - \frac{1}{2}\left( {x - 5} \right) \hfill \\
y = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} - \frac{4}{2} \hfill \\
a:y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

слично $b = p\left( {AC} \right)$ и $c = p\left( {AB} \right)$.

Израчунамo координате sредишта $BC$: 

\[\begin{gathered}
{A_1} = \left( {\frac{{1 + 5}}{2},\frac{{0 - 2}}{2}} \right) \hfill \\
{A_1} = \left( {3, - 1} \right) \hfill \\
{t_a} = p\left( {A{A_1}} \right):y - 2 = \frac{{ - 1 - 2}}{{3 - 3}}\left( {x - 3} \right) \hfill \\
y - 2 = - \frac{3}{0}\left( {x - 3} \right) \hfill \\
0 \cdot \left( {y - 2} \right) = - 3\left( {x - 3} \right) \hfill \\
0 = - 3\left( {x - 3} \right) \hfill \\
x - 3 = 0 \hfill \\
x = 3 \hfill \\
{t_a}:x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
{t_b} = p\left( {B{B_1}} \right):y = - x + 3 \hfill \\
\hfill \\
\left\{ {T\left( {x,y} \right)} \right\} = {t_a} \cap {t_b} \hfill \\
x = 3 \hfill \\
\underline {y = - x + 3} \hfill \\
x = 3 \hfill \\
y = - 3 + 3 = 0 \hfill \\
T\left( {3,0} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]