Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 3

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Одреди једначину праве која $y$-осу сече у тачки -4,

            а са позитивним делом $x$-осе гради угао од ${150^ \circ }$.

Пр.2)   Да ли тачка $M$ (-4,5) припада прави која $x$-осу сече у 2,

            а $y$-осу у -3?

Пр.3)   Одреди коефицијент $m$ тако да права $3mx - y - 3m + 6 = 0$

            сече $y$-осу у тачки 5, а затим одреди угао који права заклапа са

            позитивним делом $x$-осе.

Пр.1)

\[p:y = kx + n\] $k$-коефицијент правца $k = tg\alpha $,  $n$-одсечак на $y$-оси.

\[\begin{gathered}
n = - 4 \hfill \\
\alpha = 150^\circ \hfill \\
k = tg150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
\hfill \\
p:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 4 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)\[p:\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\]

$m$-одсечак на $x$-оси,$n$-одсечак на $y$-оси.

\[\begin{gathered}
m = 2,n = - 3 \hfill \\
p:\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \hfill \\
p:3x - 2y = 6 \hfill \\
p:2y = 3x - 6 \hfill \\
\underline {p:y = \frac{3}{2}x - 3} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
p:y = kx + n \hfill \\
n = - 3 \hfill \\
p:y = kx - 3 \hfill \\
\left( {2,0} \right) \in p \Rightarrow 0 = k \cdot 2 - 3 \hfill \\
2k = 3 \hfill \\
k = \frac{3}{2} \hfill \\
\hfill \\
\underline {p:y = \frac{3}{2}x - 3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Проверићемо да ли тачка $M$ (-4,5) припада прави $p$.

Ако $M \in p$ онда:

 \[5 = \frac{3}{2}\left( { - 4} \right) - 3\]

али 

\[5 \ne  - 9 \Rightarrow M \notin p\]

Пр.3)

Запишећемо једначиу праве $3mx - y - 3m + 6 = 0$ у облику: $y = kx + n$

\[y = 3m \cdot x - 3m + 6\]

права $3mx - y - 3m + 6 = 0$ сече $y$-осу у тачки 5, онда $n=5$

\[\begin{gathered}
- 3m + 6 = 5 \hfill \\
- 3m = - 1 \hfill \\
m = \frac{1}{3} \hfill \\
k = 3m \hfill \\
k = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \hfill \\
k = tg\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = {45^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]