Аналитчка геометрија, вектори – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Дате су тачке $A\left( {3, - 2,0} \right)$, $B\left( { - 4,1, - 3} \right)$, $C\left( {7,6,5} \right)$. Одредити вектор $4\overrightarrow {AC}  - 3\overrightarrow {CB} $ и интензитет вектора $\left| {\overrightarrow {BA} } \right|$.

Пр.2)   Дате су координате вектора $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 8,9,3} \right)$ и једна његова тачка $A\left( {2, - 3,1} \right)$. Одредити другу тачку $B$ тог вектора.

Пр.3)   Дати су вектори $\overrightarrow a  =  - 4\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 8\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = 3\overrightarrow j  - \overrightarrow k $. Одредити интензитет разлике ова два вектора. $\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = ?$

Пр.1)

$\overrightarrow {AC}  = C - A = \left( {7 - 3;6 - \left( { - 2} \right);5 - 0} \right) = \left( {4;8;5} \right)$

$\overrightarrow {CB}  = B - C = \left( { - 4 - 7;1 - 6; - 3 - 5} \right) = \left( { - 11; - 5; - 8} \right)$

$4\overrightarrow {AC}  - 3\overrightarrow {CB}  = 4\left( {4;8;5} \right) - 3\left( { - 11; - 5; - 8} \right) = \left( {16;32;20} \right) - \left( { - 33; - 15; - 24} \right) = $

$ = \left( {16 + 33;32 + 15;20 + 24} \right) = \left( {49;47;44} \right)$

$ \overrightarrow {BA}  = A - B = \left( {7, - 3,3} \right)$

$\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{7^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {49 + 9 + 9}  = \sqrt {67} $

Пр.2)

$B\left( {x;y;z} \right) - ?$

$\overrightarrow {BA}= B - A = \left( {x;y;z} \right) - \left( {2; - 3;1} \right)$

$\left( { - 8;9;3} \right) = \left( {x - 2;y + 3;z - 1} \right)$

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 8 = x - 2} \\
{x = - 6}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{9 = y + 3} \\
{y = 6}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{3 = z - 1} \\
{z = 4}
\end{array}\]

$B\left( {6;6;4} \right)$

Пр.3)

$\overrightarrow a  =  - 4\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 8\overrightarrow k  = \left( { - 4;2; - 8} \right)$ 

$\overrightarrow b  = 3\overrightarrow j  - \overrightarrow k  = \left( {0;3; - 1} \right)$

$\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = ?$

$\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( { - 4;2; - 8} \right) - \left( {0;3; - 1} \right) = \left( { - 4; - 1; - 7} \right)$

$\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}}  = $

$ = \sqrt {16 + 1 + 49}  = \sqrt {56}  = 2\sqrt {14} $