Аналитчка геометрија, вектори – примери 1

Вектор између две тачке, интензитет вектора, сабирање и одузимање вектора, множење вектора скаларом. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Дате су тачке $A\left( {3, - 2,0} \right)$ , $B\left( { - 4,1, - 3} \right)$ , $C\left( {7,6,5} \right)$ . Одредити вектор $4\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {CB}$ и интензитет вектора $\left| {\overrightarrow {BA} } \right|$ .

Пр.2) Дате су координате вектора $\overrightarrow {AB} = \left( { - 8,9,3} \right)$ и једна његова тачка $A\left( {2, - 3,1} \right)$ . Одредити другу тачку $B$ тог вектора.

Пр.3) Дати су вектори $\overrightarrow a = - 4\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 8\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = 3\overrightarrow j - \overrightarrow k$ . Одредити интензитет разлике ова два вектора. $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = ?$

Пр.1)

$\overrightarrow {AC} = C - A = \left( {7 - 3;6 - \left( { - 2} \right);5 - 0} \right) = \left( {4;8;5} \right)$

$\overrightarrow {CB} = B - C = \left( { - 4 - 7;1 - 6; - 3 - 5} \right) = \left( { - 11; - 5; - 8} \right)$

$4\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {CB} = 4\left( {4;8;5} \right) - 3\left( { - 11; - 5; - 8} \right) = \left( {16;32;20} \right) - \left( { - 33; - 15; - 24} \right) =$

$= \left( {16 + 33;32 + 15;20 + 24} \right) = \left( {49;47;44} \right)$

$\overrightarrow {BA} = A - B = \left( {7, - 3,3} \right)$

$\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{7^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {49 + 9 + 9} = \sqrt {67}$

Пр.2)

$B\left( {x;y;z} \right) - ?$

$\overrightarrow {BA}= B - A = \left( {x;y;z} \right) - \left( {2; - 3;1} \right)$

$\left( { - 8;9;3} \right) = \left( {x - 2;y + 3;z - 1} \right)$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 8 = x - 2} \\ {x = - 6} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {9 = y + 3} \\ {y = 6} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {3 = z - 1} \\ {z = 4} \end{array}$

$B\left( {6;6;4} \right)$

Пр.3)

$\overrightarrow a = - 4\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 8\overrightarrow k = \left( { - 4;2; - 8} \right)$

$\overrightarrow b = 3\overrightarrow j - \overrightarrow k = \left( {0;3; - 1} \right)$

$\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = ?$

$\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 4;2; - 8} \right) - \left( {0;3; - 1} \right) = \left( { - 4; - 1; - 7} \right)$

$\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} =$

$= \sqrt {16 + 1 + 49} = \sqrt {56} = 2\sqrt {14}$

Ови задаци вежбају основне операције са векторима задатим координатама. Вектор између две тачке је крај минус почетак: $\overrightarrow{AC} = C - A$ , а $\overrightarrow{CB} = B - C$ , па пазите који се вектор тражи. Линеарна комбинација, на пример $4\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{CB}$ , рачуна се тако што се сваки вектор помножи бројем, па се координате саберу. Интензитет је $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ , а важи $|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AB}|$ . Кад су дати почетак $A$ и вектор $\overrightarrow{AB}$ , крај је $B = A + \overrightarrow{AB}$ . Запис $-4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 8\overrightarrow{k}$ значи $(-4, 2, -8)$ , а ако $\overrightarrow{i}$ недостаје, прва координата је 0.

Најчешће грешке су знак при одузимању негативних координата и заборављен квадрат.

Корака напред по a4

Корака уназад по b3

Удаљеност од почетка |d|: 7 cm

Хватаљка прво иде

k

корака

\overrightarrow{a}

(плаво), затим

l

корака уназад по

\overrightarrow{b}

(љубичасто). Црвени вектор је укупан померај

k\overrightarrow{a} - l\overrightarrow{b}

; за

k = 4

и

l = 3

то је

(2, 6, 3)

, дужине 7 cm.

Програми који управљају роботима и машинама у фабрикама путању алата задају као низ вектора помераја, па крајњи положај добијају сабирањем вектора помножених бројем корака.

Хватаљка робот-руке

Робот-рука у фабрици у Крушевцу помера хватаљку у корацима; јединица је центиметар. Један корак $\overrightarrow{a} = (2, 3, 0)$ је водоравно напред, а корак $\overrightarrow{b} = (2, 2, -1)$ напред и мало надоле. Хватаљка почиње у тачки $P(5, -4, 10)$ , направи четири корака $\overrightarrow{a}$ , а затим три корака $\overrightarrow{b}$ уназад. Где се завршава хватаљка и колико је удаљена од почетне тачке?

Решење

Укупан померај је $\overrightarrow{d} = 4\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ .
$4\overrightarrow{a} = (8, 12, 0)$ и $3\overrightarrow{b} = (6, 6, -3)$ , па је $\overrightarrow{d} = (8 - 6, 12 - 6, 0 + 3) = (2, 6, 3)$ .
Крајња тачка: $Q = P + \overrightarrow{d} = (5 + 2, -4 + 6, 10 + 3) = (7, 2, 13)$ .
Удаљеност: $|\overrightarrow{PQ}| = |\overrightarrow{d}| = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$ .

Одговор: Хватаљка се завршава у тачки $Q(7, 2, 13)$ , на 7 cm од почетне тачке.

Задатак за вежбу

Дате су тачке $A(1, -2, 4)$ , $B(3, 0, 1)$ и $C(-1, 2, 3)$ . Одредите вектор $2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$ и интензитет вектора $\overrightarrow{AC}$ .

Прикажи решење

$\overrightarrow{AB} = (2, 2, -3)$ и $\overrightarrow{BC} = (-4, 2, 2)$ , па је $2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = (8, 2, -8)$ . $\overrightarrow{AC} = (-2, 4, -1)$ , $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{21}$ .