Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Углови троугла 2

Углови троугла. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Да ли постоји троугао чији су унутрашњи углови:

           а) 57∘,84∘{57^ \circ },{84^ \circ } и 49∘{49^ \circ }

           б) 39∘30′,73∘15′{39^ \circ }30',{73^ \circ }15' и 67∘15′{67^ \circ }15'?

Пр.2)   Одредити трећи унутрашњи угао троугла, ако два унутрашња угла износе:

           а) 41∘{41^ \circ } и 87∘{87^ \circ }

           б) 25∘25′{25^ \circ }25' и 75∘25′{75^ \circ }25'

           в) 51∘10′41′′{51^ \circ }10'41'' и 83∘35′27′′{83^ \circ }35'27''.
Пр.3)   Одредити преостале унутрашње и спољашње углове троугла, ако је:
           а) α=67∘\alpha = {67^ \circ } и β1=112∘{\beta _1} = {112^ \circ }
           б) α1=92∘30′{\alpha _1} = {92^ \circ }30' и γ1=78∘{\gamma _1} = {78^ \circ }.
Пр.4)   Одредити преостале унутрашње углове троугла, ако је један унутрашњи 36∘{36^ \circ }, а други је:
           а) за 18∘{18^ \circ } већи од трећег
           б) три пута већи од трећег.

Пр.1)   Да ли постоји троугао чији су унутрашњи углови:

           а) 57∘+84∘+49∘=190∘{57^ \circ }+{84^ \circ }+{49^ \circ }={190^ \circ } не постоји

           б) 39∘30′+73∘15′+67∘15′=180∘{39^ \circ }30'+{73^ \circ }15'+{67^ \circ }15'={180^ \circ } постоји

Пр.2)   Одредити трећи унутрашњи угао троугла, ако два унутрашња угла износе:

           а) γ=180∘−(41∘+87∘)=52∘\gamma = {180^\circ } - ({41^\circ } + {87^\circ }) = {52^\circ }

           б) γ=180∘−(25∘25′+75∘25′)=79∘10′\gamma = {180^\circ } -({25^ \circ }25'+{75^ \circ }25')={79^ \circ }10'

           в) γ=180∘−(51∘10′41′′+83∘35′27′′)=45∘13′52′′\gamma = {180^\circ } -({51^ \circ }10'41''+{83^ \circ }35'27'')={45^ \circ }13'52''.
Пр.3)   Одредити преостале унутрашње и спољашње углове троугла, ако је:
а) α=67∘\alpha = {67^ \circ } и β1=112∘{\beta _1} = {112^ \circ }
б) α1=92∘30′{\alpha _1} = {92^ \circ }30' и γ1=78∘{\gamma _1} = {78^ \circ }.
549 png
Пр.4)   Одредити преостале унутрашње углове троугла, ако је један унутрашњи 36∘{36^ \circ }, а други је:
а) за 18∘{18^ \circ } већи од трећег

α=36∘\alpha = {36^\circ }
β=γ+18∘\beta = \gamma + {18^ \circ }
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = {180^\circ }
36∘+γ+18∘+γ=180∘{36^\circ } + \gamma + {18^ \circ } + \gamma = {180^\circ }

54∘+2γ=180∘{54^\circ } + 2\gamma = {180^\circ }
2γ=126∘2\gamma = {126^\circ }
γ=63∘\gamma = {63^\circ }
β=81∘\beta = {81^ \circ }

б) три пута већи од трећег.

α=36∘\alpha = {36^\circ }
β=3γ\beta = 3\gamma
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = {180^\circ }
36∘+4γ=180∘{36^\circ } + 4\gamma = {180^\circ }
4γ=144∘4\gamma = {144^\circ }
2γ=126∘2\gamma = {126^\circ }
γ=36∘\gamma = {36^\circ }
β=108∘\beta = {108^ \circ }

Сви задаци овог дела решавају се из једнакости α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ. Ако су дата два угла, трећи је 180∘180^\circ минус њихов збир. Углове са минутима сабирајте посебно по степенима и посебно по минутима, а 60′60' претворите у 1∘1^\circ. Троугао са датим угловима постоји само ако им је збир тачно 180∘180^\circ.

Спољашњи угао рачуна се из α+α1=180∘\alpha + \alpha_1 = 180^\circ или као збир два несуседна унутрашња, γ1=α+β\gamma_1 = \alpha + \beta. Кад је дата веза међу угловима, на пример β=γ+18∘\beta = \gamma + 18^\circ, уврстите је у збир: 36∘+(γ+18∘)+γ=180∘36^\circ + (\gamma + 18^\circ) + \gamma = 180^\circ, па је γ=63∘\gamma = 63^\circ. Честа грешка је одузимање без позајмљивања: 180∘−79∘10′=179∘60′−79∘10′=100∘50′180^\circ - 79^\circ 10' = 179^\circ 60' - 79^\circ 10' = 100^\circ 50'.

α = 54,5°β = 45°γγ₁ = 99,5°ABC
α + β
99,5°
γ₁
99,5°
γ + γ₁
180°
Спољашњи угао γ1\gamma_1 увек је једнак збиру α+β\alpha + \beta два несуседна унутрашња угла, а са унутрашњим углом γ\gamma чини опружен угао од 180∘180^\circ.

Углове троугла рачунају столари кад секу троугласте полице и носаче, а пројектанти рамова бицикла и кровних конструкција кад проверавају да ли ће се делови тачно склопити.

Рам бицикла

Главни део рама бицикла је троугао од три цеви. Угао између горње и седишне цеви је 73∘30′73^\circ 30', а угао између седишне и косе цеви код педала 58∘15′58^\circ 15'. Колики је трећи угао, између горње и косе цеви код управљача?

Решење

  1. Збир два позната угла: 73∘30′+58∘15′=131∘45′73^\circ 30' + 58^\circ 15' = 131^\circ 45'.
  2. Трећи угао је 180∘−131∘45′180^\circ - 131^\circ 45'. Позајмимо један степен: 179∘60′−131∘45′=48∘15′179^\circ 60' - 131^\circ 45' = 48^\circ 15'.
  3. Провера: 73∘30′+58∘15′+48∘15′=179∘60′=180∘73^\circ 30' + 58^\circ 15' + 48^\circ 15' = 179^\circ 60' = 180^\circ.

Одговор: Угао код управљача је 48∘15′48^\circ 15'.

Задатак за вежбу

Један угао троугла је 40∘40^\circ, а други је три пута већи од трећег. Израчунајте непознате углове и спољашњи угао код највећег угла.

Прикажи решење

40∘+3γ+γ=180∘40^\circ + 3\gamma + \gamma = 180^\circ, па је 4γ=140∘4\gamma = 140^\circ, γ=35∘\gamma = 35^\circ и β=105∘\beta = 105^\circ. Спољашњи угао код β\beta је 180∘−105∘=75∘180^\circ - 105^\circ = 75^\circ, што је и 40∘+35∘40^\circ + 35^\circ.