Троугао – понављање градива

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дати су углови троугла $\alpha  = {82^ \circ }$ и $\beta  = {44^ \circ }$.

           Одредити: а) углове $\gamma ,{\alpha _1},{\beta _1}$ и ${\gamma _1}$

                            б) угао који граде симетрале $\beta $ и $\gamma $

                            в) угао који граде симетрале углова ${\beta _1}$ и ${\gamma _1}$

                            г) пређати странице по величини

Пр.2)   Којој врсти припада троугао ако је:

           а) један његов угао ${25^ \circ }$ а други ${55^ \circ }$

           б) спољашњи угао једнак одговарајућем унутрашњем

           в) унутрашњи угао два пута већи од одговарајућег спољашњег

Пр.3)   Одредити обим једнакокраког троугла ако су његове странице

           2,5cm и 5cm.

Пр.4)   Један оштар угао правоуглог троугла је $\frac{2}{5}$ правог угла.

           Одредити меру оштрих углова тог правоуглог троугла.

Пр.5)   Симетрала крака $BC$ једнакокраког троугла $ABC$ сече

           други крак у тачки $M$ и праву $AB$ у тачки $E$. Ако је

           угао при врху ${54^ \circ }$, израчунати углове $\vartriangle MEA$.

Пр.1)   Дати су углови троугла $\alpha  = {82^ \circ }$ и $\beta  = {44^ \circ }$.

а)

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
{82^ \circ } + {44^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {180^ \circ } - {126^ \circ } \hfill \\
\underline {\gamma = {{54}^ \circ }} \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ } - {82^ \circ } \hfill \\
\underline {{\alpha _1} = {{98}^ \circ }} \hfill \\
\beta + {\beta _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \hfill \\
{\beta _1} = {180^ \circ } - {44^ \circ } \hfill \\
\underline {{\beta _1} = {{136}^ \circ }} \hfill \\
\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = {180^ \circ } - \gamma \hfill \\
{\gamma _1} = {180^ \circ } - {54^ \circ } \hfill \\
\underline {{\gamma _1} = {{126}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} \]

б) 

\[\begin{gathered}
\frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{2} + x = {180^ \circ } \hfill \\
{22^ \circ } + {27^ \circ } + x = {180^ \circ } \hfill \\
x = {180^ \circ } - {49^ \circ } \hfill \\
\underline {\gamma = {{131}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} \]

в)

\[\begin{gathered}
\frac{{{\beta _1}}}{2} + \frac{{{\gamma _1}}}{2} + x = {180^ \circ } \hfill \\
{63^ \circ } + {68^ \circ } + x = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {180^ \circ } - {131^ \circ } \hfill \\
\underline {\gamma = {{49}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} \]

г) $\beta  < \gamma  < \alpha  \Rightarrow b < c < a$

Пр.2)  а)

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
{25^ \circ } + {45^ \circ } + x = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {180^ \circ } - {80^ \circ } \hfill \\
\underline {\gamma = {{100}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} \]

тупоугли

б) 

\[\begin{gathered}
\alpha = {\alpha _1} \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + \alpha = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ }:2 \hfill \\
\alpha = {90^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \alpha = {90^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

правоугли

в) 

\[\begin{gathered}
\alpha = 2{\alpha _1} \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
2{\alpha _1} + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
3{\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {60^ \circ } \hfill \\
\alpha = 2 \cdot {60^ \circ } \hfill \\
\alpha = {120^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

тупоугли

Пр.3)

1 случај: $a = 5;b = 2,5$

\[\begin{gathered}
a < b + b \hfill \\
5 < 2,5 + 2,5 \hfill \\
5 < 5 \bot \hfill \\
\end{gathered} \]

2 случај: $a = 2,5;b = 5$

\[\begin{gathered}
O = a + b + b \hfill \\
O = 2,5 + 5 + 5 \hfill \\
O = 12,5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
\alpha = \frac{2}{5} \cdot {90^ \circ } = {36^ \circ } \hfill \\
\alpha + \beta = {180^ \circ } \hfill \\
{36^ \circ } + \beta = {180^ \circ } \hfill \\
\beta = {180^ \circ } - {36^ \circ } \hfill \\
\beta = {54^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)

\[\begin{gathered}
\vartriangle ABC \hfill \\
\alpha + \alpha + {54^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha + {54^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {180^ \circ } - {54^ \circ } \hfill \\
\alpha = {126^ \circ }:2 \hfill \\
\alpha = {63^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \alpha + {54^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {63^ \circ } + {54^ \circ } = {117^ \circ } \hfill \\
{90^ \circ } + {54^ \circ } + x = {180^ \circ } \hfill \\
x = {180^ \circ } - {144^ \circ } \hfill \\
x = {36^ \circ } \hfill \\
\vartriangle MEA \hfill \\
x + {\alpha _1} + y = {180^ \circ } \hfill \\
{36^ \circ } + {117^ \circ } + y = {180^ \circ } \hfill \\
y = {180^ \circ } - {153^ \circ } = {27^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]