Подударност троуглова – други део

Трећи и четврти став о подударности троуглова. Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

1. Дат је правоугаоник АВСD. Доказати да дуж АС дели тај правоугаоник на два подударна троугла.

2. Доказати да су углови на основици једнакокраког троугла међусобно једнаки.

3. Доказати да је висина у једнакостраничном троуглу истовремено и симетрала странице тог троугла.

4. Доказати да су два правоугла троугла подударна ако су им подударне хипотенузе и по једна катета.

1.

574 png

$\left. \begin{aligned}&AB = CD \\ &BC = AD \\ &AC = AC\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ACD \cong \vartriangle BCA$

2.

575 png

$\left. \begin{aligned}&AC = BC \\ &AD = BD \\ &DC = DC\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle BCD \cong \vartriangle DCA \Rightarrow \measuredangle A = \measuredangle B$

3.

576 png

$\left. \begin{aligned}&AC = BC \\ &\measuredangle ADC = \measuredangle BDC \\ &CD = CD\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ADC \cong \vartriangle BCD \Rightarrow AD = DB$

4.

577 png

$\left. \begin{aligned}&AB = MN \\ &\measuredangle C = \measuredangle P \\ &CB = PN\end{aligned} \right\} \Rightarrow \vartriangle ABC \cong \vartriangle PMN \Rightarrow AD = DB$

Став ССС: два троугла су подударна ако су им све три странице једнаке. Зато је троугао од три летве чврст: кад су странице задате, ниједан угао не може да се промени. Став ССУ: троуглови су подударни ако имају једнаке две странице и угао наспрам веће од њих. За правоугле троуглове то значи да су подударни ако имају једнаке хипотенузе и по једну катету, јер је прав угао наспрам хипотенузе.

Овим ставовима доказује се да су углови на основици једнакокраког троугла једнаки и да висина једнакостраничног троугла полови страницу. Пазите на две замке: три једнака угла нису довољна, а став ССУ не важи ако је угао наспрам мање странице.

Страница a4

Број троуглова: 2
AC₁: 7,84
AC₂: 2,55

Задате су страница

c = AB = 6

, угао

\alpha = 30^\circ

код темена

A

и страница

a = BC

наспрам тог угла. Док је

a

краће од

c

, исти подаци дају два различита троугла,

ABC_1

и

ABC_2

. Кад

a

постане дуже од

c

, троугао је само један: зато у ставу ССУ угао мора бити наспрам веће странице.

Мостови, кранови и кровне конструкције праве се од троуглова, јер је троугао са задатим страницама чврст. Исто правило знају молери: мердевине исте дужине, постављене једнако далеко од зида, досежу до исте висине.

Мердевине уз зид

Два молера у Новом Саду прислонила су једнаке мердевине дужине 5 m на два зида. Подножје сваких мердевина је 1,4 m од зида. Прве мердевине досежу до висине 4,8 m. Докле досежу друге и да ли са подом граде исти угао као прве?

Решење

Зид, под и мердевине чине правоугли троугао, са правим углом између зида и пода.
Хипотенузе су једнаке (мердевине од 5 m), а исто и катете на поду (1,4 m).
Прав угао је наспрам хипотенузе, веће од те две странице, па су троуглови подударни по ставу ССУ.
Одговарајући елементи подударних троуглова су једнаки: и друга катета је 4,8 m, а угао са подом је исти.

Одговор: Друге мердевине досежу до висине 4,8 m и са подом граде исти угао као прве.

Задатак за вежбу

Странице троугла $ABC$ су $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm и $CA = 7$ cm, а троугла $PQR$ су $PQ = 6$ cm, $QR = 7$ cm и $RP = 4$ cm. Да ли су ови троуглови подударни? Који угао троугла $PQR$ је једнак углу $\measuredangle ABC$ ?

Прикажи решење

Јесу, по ставу ССС. Угао $\measuredangle ABC$ је између страница од 4 cm и 6 cm. У троуглу $PQR$ то су $RP$ и $PQ$ , па је $\measuredangle ABC = \measuredangle RPQ$ .