Једнакокраки и првавоугли трапез 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Један унутрашњи угао трапеза је ${67^ \circ }$. Израчунати преостале

           унутрашње и спољашње углове, ако је трапез:

           а) једнакокраки

           б) правоугли.

Пр.2)   Продужетци кракова трапеза се секу под уголом ${43^ \circ }$. Израчунати

           све унутрашње углове тог трпеза ако је он:

           а) једнакокраки

           б) правоугли.

Пр.3)   Правоугли трапез је једном дијагоналом подељен на два троугла

           - правоугли  и  једнакостранички чија је страница 10cm.

            Израчунати средњеу линија тог трапеза.

Пр.4)   Израчунати обим јендакокракок трапеза, ако је:

           а) један унутрашњи угао ${60^ \circ }$, а основеице 10cm и 4cm

           б) један унутрашњи угао ${30^ \circ }$, средња линија 10cm и висина

               трапеза 4cm.

Пр.5)   Израчунати висину правоуглог трапза ако су основице 17cm и

            11cm, а један унутрашњи угао ${135^ \circ }$.

Пр.1)   Један унутрашњи угао трапеза је ${67^ \circ }$. Израчунати преостале

           унутрашње и спољашње углове, ако је трапез:

           а) једнакокраки

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha = \beta = {67^ \circ } \hfill \\
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
{67^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\delta = {180^ \circ } - {67^ \circ } \hfill \\
\delta = {113^ \circ } \hfill \\
\gamma = \delta = {113^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\alpha _1} = \delta = {113^ \circ } \hfill \\
{\delta _1} = \alpha = {67^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = \gamma = {113^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = \beta = {67^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

           б) правоугли.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha = {67^ \circ } \hfill \\
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
{67^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\delta = {180^ \circ } - {67^ \circ } \hfill \\
\delta = {113^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\alpha _1} = \delta = {113^ \circ } \hfill \\
{\delta _1} = \alpha = {67^ \circ } \hfill \\
\beta = {90^ \circ } \hfill \\
\gamma = {90^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = {90^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = {90^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

Пр.2)   Продужетци кракова трапеза се секу под уголом ${43^ \circ }$. Израчунати

           све унутрашње углове тог трпеза ако је он:

           а) једнакокраки

 $\vartriangle EDC$ - једнакокраки

\[\alpha  + \beta  + {43^ \circ } = {180^ \circ }\]

\[\alpha  = \beta \]

\[2\alpha  = {180^ \circ }\]

\[2\alpha  = {180^ \circ } - {43^ \circ }\]

\[2\alpha  = {137^ \circ }\]

\[\alpha  = {68^ \circ }30'\]

\[\beta  = \alpha  = {68^ \circ }30'\]

\[\beta  = \alpha  = {68^ \circ }30'\]

\[\alpha  + \delta  = {180^ \circ }\]

\[{68^ \circ }30' + \delta  = {180^ \circ }\]

\[\delta  = {180^ \circ } - {68^ \circ }30'\]

\[\delta  = {111^ \circ }30'\]

\[\gamma  = \delta  = {111^ \circ }30'\] 

           б) правоугли.

 $\vartriangle EDC$ - правоугли.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha + {90^ \circ } + {43^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {133^ \circ } \hfill \\
\alpha = {47^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
{47^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\delta = {180^ \circ } - {47^ \circ } \hfill \\
\delta = {133^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

Пр.3)   Правоугли трапез је једном дијагоналом подељен на два троугла

           - правоугли  и  једнакостранични чија је страница 10cm.

            Израчунати средњеу линија тог трапеза.

 $\vartriangle ABC$ - једнакостранични чија је страница 10cm.

Направимо висину $CЕ$. $АЕ=EB=5cm$.

$ADCЕ$ - правоугаоник. $АЕ=DC=5cm$.

\[\begin{gathered}
m = \frac{{a + b}}{2} \hfill \\
m = \frac{{10 + 5}}{2} \hfill \\
m = 7,5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   Израчунати обим јендакокракок трапеза, ако је:

           а) један унутрашњи угао ${60^ \circ }$, а основеице 10cm и 4cm

Нека је $DE\parallel CB$. $\vartriangle ADE$ - једнакостранични чија је страница ${a - b}=c$.

\[\begin{gathered}
c = a - b \hfill \\
c = 10 - 4 \hfill \\
c = 6cm \hfill \\
O = a + b + 2c \hfill \\
O = 10 + 4 + 2 \cdot 6 \hfill \\
O = 26cm \hfill \\
\end{gathered} \]

           б) један унутрашњи угао ${30^ \circ }$, средња линија 10cm и висина

               трапеза 4cm.

Погледамо једнакостранични троугао $\vartriangle ADE$ $AD=DE=2h=8cm$

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
m = \frac{{a + b}}{2} \hfill \\
10 = \frac{{a + b}}{2} \hfill \\
a + b = 2 \cdot 10 \hfill \\
a + b = 20cm \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
O = a + b + 2c \hfill \\
O = 20 + 2 \cdot 8 \hfill \\
O = 20 + 16cm \hfill \\
O = 36cm \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

Пр.5)   Израчунати висину правоуглог трапза ако су основице 17cm и

            11cm, а један унутрашњи угао ${135^ \circ }$.

\[\begin{gathered}
\alpha + {135^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {135^ \circ } \hfill \\
\alpha = {45^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

$\vartriangle ABE$ јендакокраки.

\[\begin{gathered}
AE = BE \hfill \\
h = a - b \hfill \\
h = 17 - 11 \hfill \\
h = 6cm \hfill \\
\end{gathered} \]