Степеновање и полиноми

Задаци које смо решили у видео лекцији:

1. Упростити изразе:

(а)   ${\left( {{x^3}} \right)^4} = $         

(б)   ${x^6} \cdot x = $             

(в)   ${x^{16}}:{x^5} = $                        

(г)   ${\left( {{x^3}} \right)^4} \cdot {\left( {{x^2}} \right)^5} = $ 

2. Израчунати вредност алгебарског израза:

     (а)   ${x^3} + {x^2}$        за $x = 2$

     (б)   ${x^3} + 4{x^2} - 7x - 11$       за $x =  - 2$

     (в)   $8{x^3} + 4{x^2} - 7x - 11$      за $x =  - \frac{1}{2}$

3. Израчунати $\frac{{{2^7} \cdot {4^5}}}{{{8^8}:{{32}^2}}} = $                 

4. Дати су полиноми    $P = {x^3} + 4{x^2} - 7x - 11$   и   $Q =  - 2{x^3} + 9{x^2} - 7x - 19$. Одредити њихов збир и њихову разлику.

5. Решити једначине:

(а)   ${2^{3x - 1}}:{2^{4x + 5}} = {16^7}$

(б)   $3x - \left( {\left( {2 + 4x} \right) + 5} \right) + 9x =  - 18$

(в)   ${3^{5x - 4}} \cdot {3^{2 - 3x}} = {27^5}$

1. 

(а)   ${\left( {{x^3}} \right)^4} = {x^{3 \cdot 4}} = {x^{12}}$         

(б)   ${x^6} \cdot x = {x^{6 + 1}} = {x^7}$             

(в)   ${x^{16}}:{x^5} = {x^{16 - 5}} = {x^{11}}$                        

(г)   ${\left( {{x^3}} \right)^4} \cdot {\left( {{x^2}} \right)^5} = {x^{12}} \cdot {x^{10}} = {x^{22}}$ 

2.     (а)   ${x^3} + {x^2}$        за $x = 2$

\[{x^3} + {x^2} = {2^3} + {2^2} = 8 + 4 = 12\]

       (б)   ${x^3} + 4{x^2} - 7x - 11$       за $x =  - 2$

\[{x^3} + 4{x^2} - 7x - 11 = {\left( { - 2} \right)^3} + 4{\left( { - 2} \right)^2} - 7\left( { - 2} \right) - 11 =  - 8 + 16 + 14 - 11 = 11\]

      (в)   $8{x^3} + 4{x^2} - 7x - 11$      за $x =  - \frac{1}{2}$

\[\begin{gathered}
8{x^3} + 4{x^2} - 7x - 11 = 8{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} + 4{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 7\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 11 = \hfill \\
= 8\left( { - \frac{1}{8}} \right) + 4\left( {\frac{1}{4}} \right) - 7\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 11 = - 1 + 1 + 3,5 - 11 = - 7,5 \hfill \\
\end{gathered} \]

3.  $\frac{{{2^7} \cdot {4^5}}}{{{8^8}:{{32}^2}}} = \frac{{{2^7} \cdot {{\left( {{2^2}} \right)}^5}}}{{{{\left( {{2^3}} \right)}^8}:{{\left( {{2^5}} \right)}^2}}} = \frac{{{2^7} \cdot {2^{10}}}}{{{2^{24}}:{2^{10}}}} = \frac{{{2^{17}}}}{{{2^{14}}}} = {2^3} = 8$                 

4. $P = {x^3} + 4{x^2} - 7x - 11$  

    $Q =  - 2{x^3} + 9{x^2} - 7x - 19$. 

\[\begin{gathered}
P + Q = {x^3} + 4{x^2} - 7x - 11 - 2{x^3} + 9{x^2} - 7x - 19 = \hfill \\
= - {x^3} + 13{x^2} - 14x - 30 \hfill \\
P - Q = {x^3} + 4{x^2} - 7x - 11 - \left( { - 2{x^3} + 9{x^2} - 7x - 19} \right) = \hfill \\
= {x^3} + 4{x^2} - 7x - 11 + 2{x^3} - 9{x^2} + 7x + 19 = \hfill \\
= 3{x^3} - 5{x^2} + 8 \hfill \\
\end{gathered} \]

5.(а)   

\[\begin{gathered}
{2^{3x - 1}}:{2^{4x + 5}} = {16^7} \hfill \\
{2^{3x - 1 - \left( {4x + 5} \right)}} = {\left( {{2^4}} \right)^7} \hfill \\
{2^{3x - 1 - 4x - 5}} = {2^{28}} \hfill \\
{2^{ - x - 6}} = {2^{28}} \hfill \\
- x - 6 = 28 \hfill \\
- x = 28 + 6 \hfill \\
- x = 34 \hfill \\
x = - 34 \hfill \\
\end{gathered} \]

(б)   

\[\begin{gathered}
3x - \left( {\left( {2 + 4x} \right) + 5} \right) + 9x = - 18 \hfill \\
3x - \left( {2 + 4x + 5} \right) + 9x = - 18 \hfill \\
3x - 2 - 4x - 5 + 9x = - 18 \hfill \\
8x - 7 = - 18 \hfill \\
8x = - 11 \hfill \\
x = - \frac{{11}}{8} \hfill \\
\end{gathered} \]

(в)   

\[\begin{gathered}
{3^{5x - 4}} \cdot {3^{2 - 3x}} = {27^5} \hfill \\
{3^{5x - 4 + 2 - 3x}} = {\left( {{3^3}} \right)^5} \hfill \\
{3^{2x - 2}} = {3^{15}} \hfill \\
2x - 2 = 15 \hfill \\
2x = 2 + 15 \hfill \\
2x = 17 \hfill \\
x = \frac{{17}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]