Примена Питагорине теореме на трапез 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Површина једнакокракок трапеза је $120c{m^2}$. Ако се основице

           разликују 12cm, а висина 8cm, израчунати обим тог трапеза.

Пр.2)   Једна основица правоуглог трапеза износи три половине друге.

           Ако је висина тог трапеза 4cm, а крак 5cm, израчунати обим и

           површину тог трапеза.

Пр.3)   Крак једнакокраког трапеза је 6cm, краћа основица 7cm, а један

           унутрашњи угао од ${30^ \circ }$. Израчунати површину тог трапеза.

Пр.4)   Квадрат и једнакокраки трапез имају једнаке површине која

           износи $225c{m^2}$. Крак трапеза једнак је страници квадрата. Ако је

           висина трапеза 9cm, а основица 8cm, израчунати разлику обима

           квадрата и трапеза.

Пр.1)   

\[\begin{gathered}
P = 120c{m^2} \hfill \\
a - b = 12cm \hfill \\
\underline {h = 8cm} \hfill \\
O = ? \hfill \\
\hfill \\
{c^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{c^2} = {8^2} + {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{c^2} = 64 + {6^2} \hfill \\
{c^2} = 64 + 36 \hfill \\
{c^2} = 100 \hfill \\
c = 10cm \hfill \\
P = \frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
120 = \frac{{a + b}}{2} \cdot 8 \hfill \\
a + b = \frac{{120}}{4} \hfill \\
\left. \begin{gathered}
a + b = 30cm \hfill \\
a - b = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow a = 12 + b \hfill \\
12 + b + b = 30 \hfill \\
2b = 30 - 12 \hfill \\
2b = 18 \hfill \\
b = 9cm \hfill \\
a = 30 - 9 = 21cm \hfill \\
O = 2c + a + b = 20 + 30 = 50cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

\[\begin{gathered}
a = \frac{3}{2}b \hfill \\
c = 5cm \hfill \\
\underline {h = 4cm} \hfill \\
O = ?P = ? \hfill \\
\hfill \\
{c^2} = {h^2} + {\left( {a - b} \right)^2} \hfill \\
{5^2} = {4^2} + {\left( {a - b} \right)^2} \hfill \\
{\left( {a - b} \right)^2} = - 16 + 25 \hfill \\
{\left( {a - b} \right)^2} = 9 \hfill \\
a - b = 3 \hfill \\
\frac{3}{2}b - b = 3 \hfill \\
\frac{1}{2}b = 3 \hfill \\
b = 6cm \hfill \\
a = \frac{3}{2}b \hfill \\
a = \frac{3}{2} \cdot 6 \hfill \\
a = 9cm \hfill \\
P = \frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
P = \frac{{9 + 6}}{2} \cdot 4 \hfill \\
P = 15 \cdot 2 = 30c{m^2} \hfill \\
O = h + c + a + b = 4 + 5 + 9 + 6 = 24cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)   

\[\begin{gathered}
c = 6cm \hfill \\
b = 7cm \hfill \\
\underline {\alpha = {{30}^ \circ }} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
P = \frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
h = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3cm \hfill \\
\frac{{a - b}}{2} = \frac{{c\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
\frac{{a - 7}}{2} = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
a - 7 = 6\sqrt 3 \hfill \\
a = 6\sqrt 3 + 7cm \hfill \\
P = \frac{{6\sqrt 3 + 7 + 7}}{2} \cdot 3 = \frac{{6\sqrt 3 + 14}}{2} \cdot 3 = 21 + 9\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
{P_k} = {P_t} = 225c{m^2} \hfill \\
c = {a_k} \hfill \\
b = 8cm \hfill \\
\underline {h = 9cm} \hfill \\
{O_t} - {O_k} = ? \hfill \\
\hfill \\
{P_k} = {a_k}^2 \hfill \\
225 = {a_k}^2 \hfill \\
{a_k} = 15cm \hfill \\
{O_k} = 4{a_k} = 4 \cdot 15 = 60cm \hfill \\
{O_t} = a + b + 2c \hfill \\
{c^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{15^2} = {9^2} + {\left( {\frac{{a - 8}}{2}} \right)^2} \hfill \\
225 = 81 + {\left( {\frac{{a - 8}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} = 144 \hfill \\
\frac{{a - b}}{2} = 12 \hfill \\
\frac{{a - 8}}{2} = 12 \hfill \\
a - 8 = 12 \cdot 2 \hfill \\
a - 8 = 24 \hfill \\
a = 32cm \hfill \\
{O_t} = 32 + 8 + 2 \cdot 15 = 70cm \hfill \\
{O_t} - {O_k} = 70 - 60 = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Питање за размишљање: Шта није у реду код овог решења и зашто?