Примена Питагорине теореме на трапез 1

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Израчунати крак једнакокракок трапеза чије су основице

5cm и 11cm, а висина 4cm.

Пр.2) Израчунати површину једнакокракок трапеза чије су основице

7cm и 25cm, а крак 15cm.

Пр.3) Израчунати висину правоуглог трапеза чије су основице

11cm и 14cm, а крак 5cm.

Пр.1)

613 png

$\begin{aligned}&a = 11cm \\ &b = 5cm \\ &\underline {h = 4cm} \\ &c = ?\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{c^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} \\ &{c^2} = {4^2} + {\left( {\frac{{11 - 5}}{2}} \right)^2} \\ &{c^2} = 16 + {3^2} \\ &{c^2} = 16 + 9 \\ &{c^2} = 25 \\ &c = 5cm\end{aligned}$

Пр.2)

614 png

$\begin{aligned}&a = 25cm \\ &b = 7cm \\ &\underline {c = 15cm} \\ &P = ? \\ & \\ &P = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \\ &{c^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} \\ &{15^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{25 - 7}}{2}} \right)^2} \\ &225 = {h^2} + {9^2} \\ &{h^2} = 225 - 81 \\ &{h^2} = 144 \\ &h = 12cm \\ &P = \frac{{25 + 7}}{2} \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192c{m^2}\end{aligned}$

Пр.3)

615 png

$\begin{aligned}&a = 14cm \\ &b = 11cm \\ &\underline {c = 5cm} \\ &h = ? \\ & \\ & \\ &{c^2} = {h^2} + {\left( {a - b} \right)^2} \\ &{5^2} = {h^2} + {\left( {14 - 11} \right)^2} \\ &25 = {h^2} + {3^2} \\ &{h^2} = 25 - 9 \\ &{h^2} = 16 \\ &h = 4cm\end{aligned}$

Код једнакокраког трапеза спустите висине из темена краће основице. Оне одсецају два подударна правоугла троугла са катетама $h$ и $\frac{a - b}{2}$ и хипотенузом $c$ , па је $c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$ . За основице 10 cm и 4 cm и висину 4 cm крак је $c = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm. Код правоуглог трапеза постоји само један такав троугао, са катетама $h$ и $a - b$ : $c^2 = h^2 + (a - b)^2$ .

Кад израчунате висину, површина је $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ . Обим једнакокраког трапеза је $O = a + b + 2c$ , а правоуглог $O = a + b + c + h$ . Најчешћа грешка код једнакокраког трапеза је да се узме цела разлика основица $a - b$ уместо њене половине.

Дужа основица a5

Краћа основица b2

Висина h2

Крак c: 2,5
Површина P: 7
Обим O: 12

Почетни трапез је пресек канала из примера, окренут наопако: основице 5 и 2, висина 2 и крак 2,5. Укључите правоугли трапез: тада је катета уз висину цела разлика

a - b

, а не њена половина.

Попречни пресеци канала, насипа и путева често имају облик једнакокраког трапеза, па грађевински инжењери овако рачунају дужину косина, а из површине пресека запремину земље или воде.

Канал за наводњавање

Попречни пресек канала за наводњавање је једнакокраки трапез: при врху је широк 5 m, на дну 2 m, а дубок је 2 m. Колико је дугачка коса страна канала, од дна до ивице, и колика је површина попречног пресека? Колико воде стане у један метар дужине пуног канала?

Решење

Нормале подигнуте из крајева дна одсецају два правоугла троугла са катетама $h = 2$ m и $\frac{a - b}{2} = \frac{5 - 2}{2} = 1{,}5$ m.
$c^2 = 2^2 + 1{,}5^2 = 4 + 2{,}25 = 6{,}25$ , па је $c = 2{,}5$ m.
$P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{5 + 2}{2} \cdot 2 = 7$ m².
Један метар пуног канала садржи $7 \cdot 1 = 7$ m³ воде.

Одговор: Коса страна канала дугачка је 2,5 m, пресек има 7 m², а у сваки метар дужине канала стане 7 m³ воде.

Задатак за вежбу

Основице правоуглог трапеза су 15 cm и 9 cm, а дужи крак 10 cm. Израчунајте висину и површину трапеза.

Прикажи решење

$h = \sqrt{10^2 - (15 - 9)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm и $P = \frac{15 + 9}{2} \cdot 8 = 96$ cm².