Примена Питагорине теореме на ромб

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Ако су дијагонале ромба 6cm и 8cm, израчунати обим тог ромба.

Пр.2)   Израчунати површину ромба чија је страница 13cm, а једна

           дијагонала 10cm.

Пр.3)   Површина ромба је $216c{m^2}$, а једна његова дијагонала 24cm.

           Израчунати обим и површину тог ромба.

Пр.4)   Израчунати површину ромба чији је обим 32cm, а један

           унутрашњи угао ${60^ \circ }$.

Пр.1)   

\[\begin{gathered}
{d_1} = 6cm \hfill \\
\underline {{d_2} = 8cm} \hfill \\
O = ? \hfill \\
{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{a^2} = {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25 \hfill \\
a = 5cm \hfill \\
O = 4a = 4 \cdot 5 = 20cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   

\[\begin{gathered}
{d_1} = 10cm \hfill \\
\underline {a = 13cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{13^2} = {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \hfill \\
169 = {5^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \hfill \\
169 = 25 + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = 169 - 25 \hfill \\
{\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = 144 \hfill \\
\frac{{{d_2}}}{2} = 12 \hfill \\
{d_2} = 12 \cdot 2 \hfill \\
{d_2} = 24cm \hfill \\
P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \hfill \\
P = \frac{{10 \cdot 24}}{2} = 120cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)   

\[\begin{gathered}
{d_1} = 24cm \hfill \\
\underline {P = 216c{m^2}} \hfill \\
O = ?h = ? \hfill \\
P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \hfill \\
216 = \frac{{24 \cdot {d_2}}}{2} \hfill \\
{d_2} = \frac{{216 \cdot 2}}{{24}} \hfill \\
{d_2} = 18cm \hfill \\
{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{a^2} = {\left( {\frac{{24}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{18}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{a^2} = {12^2} + {9^2} \hfill \\
{a^2} = 144 + 81 \hfill \\
{a^2} = 225 \hfill \\
a = 15cm \hfill \\
O = 4a = 4 \cdot 15 = 60cm \hfill \\
P = ah \hfill \\
216 = 15h \hfill \\
h = 14,4cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)  

\[\begin{gathered}
O = 32cm \hfill \\
\underline {\alpha = {{60}^ \circ }} \hfill \\
P = ? \hfill \\
O = 4a \hfill \\
32 = 4 \cdot a \hfill \\
a = 8cm \hfill \\
{P_r} = 2{P_{\vartriangle ABD}} \hfill \\
\end{gathered} \]

$\vartriangle ABD$ једнакостранични троугол

\[{P_r} = 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{8^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{64\sqrt 3 }}{2} = 32\sqrt 3 c{m^2}\]