Примена Питагорине теореме на правоугаоник и квадрат 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дијагонале правоугаоника секу се под углом од ${60^ \circ }$. Израчунати обим и површину тог правоугаоника ако је дужина дијагонала 12cm.

Пр.2)   Дат је квадрат $ABCD$ странице 8cm. Тачке E и F су на страницама $AB$ и $BC$ тако да је $BE = BF = 2cm$. Израчунати обим и површину четвороугла $EBFD$.

Пр.3)   Квадрат и правоугаоник имају исту површину. Ако је страница квадрата 12cm, а једна страница правоугаоника четири пута дужа од друге, израчунати дужину дијагонале правоугаоника.

Пр.4)   Ако су странице правоугаоника 12cm и 16cm, израчунати растојање темена $A$ од дијагонале $BD$.

Пр.1)   

\[\begin{gathered}
\underline {d = 12cm} \hfill \\
O = ?P = ? \hfill \\
b = \frac{d}{2} = \frac{{12}}{2} = 6cm \hfill \\
{d^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\
{12^2} = {a^2} + {6^2} \hfill \\
{a^2} = 144 - 36 \hfill \\
{a^2} = 108 \hfill \\
a = 6\sqrt 3 cm \hfill \\
\hfill \\
O = 2a + 2b = 2 \cdot 6\sqrt 3 + 12cm \hfill \\
P = ab = 6 \cdot 6\sqrt 3 = 36\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   

$EB = BF,ED = DF \Rightarrow FBED$ - делтоид.

\[\begin{gathered}
{P_{FBED}} = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \hfill \\
{d_1} = a\sqrt 2 \hfill \\
{d_1} = 8\sqrt 2 \hfill \\
{d_2} = BE\sqrt 2 \hfill \\
{d_2} = 2\sqrt 2 \hfill \\
{P_{FBED}} = \frac{{8\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 }}{2} = 16c{m^2} \hfill \\
O = DE + DF + BE + BF = 2\left( {DE + BE} \right) \hfill \\
D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} \hfill \\
D{E^2} = {8^2} + {6^2} \hfill \\
D{E^2} = 64 + 36 \hfill \\
D{E^2} = 100 \hfill \\
DE = 10cm \hfill \\
O = 2\left( {DE + BE} \right) = 2\left( {10 + 2} \right) = 24cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)   

\[\begin{gathered}
{a_k} = 12cm \hfill \\
\underline {{P_k} = {P_p}} \hfill \\
{d_p} = ? \hfill \\
\hfill \\
{P_k} = a_k^2 \hfill \\
{P_k} = {12^2} \hfill \\
{P_k} = 144c{m^2} \Rightarrow {P_p} = 144c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
{a_p} = 4{b_p} \hfill \\
{P_p} = {a_p} \cdot {b_p} = 4{b_p} \cdot {b_p} = 4{b_p}^2 \hfill \\
4{b_p}^2 = 144 \hfill \\
{b_p}^2 = \frac{{144}}{4} \hfill \\
{b_p}^2 = 36 \hfill \\
{b_p} = 6cm \hfill \\
\hfill \\
{a_p} = 4{b_p} = 4 \cdot 6 = 24cm \hfill \\
\hfill \\
{d_p}^2 = {a_p}^2 + {b_p}^2 \hfill \\
{d_p}^2 = {24^2} + {6^2} = 576 + 36 = 612 \hfill \\
{d_p} = 6\sqrt {17} cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
a = 12cm \hfill \\
\underline {b = 16cm} \hfill \\
{h_d} = ? \hfill \\
\hfill \\
{d^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\
{d^2} = {12^2} + {16^2} = 144 + 256 = 400 \hfill \\
d = 20cm \hfill \\
{P_\vartriangle } = \frac{{ab}}{2} = \frac{{12 \cdot 16}}{2} = 96c{m^2} \hfill \\
{P_\vartriangle } = \frac{{d{h_d}}}{2} \hfill \\
96c{m^2} = \frac{{20{h_d}}}{2} \hfill \\
{h_d} = \frac{{96 \cdot 2}}{{20}} = 9,6cm \hfill \\
\end{gathered} \]