Правилни многоуглови – други део

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Израчунати укупан број дијагонала,унутрашњи, спољашни и централни угао правилног  десетоугла.

Пр.2) Ако централни угао правилног многоугла износи ${45^ \circ }$, израчунати укупан број дијагонала и унутрашеи угао тог многоугла.

Пр.3) Ако је унутрашњи угао правилног многоугла износи ${140^ \circ }$, израчунати који је то  многоугао, а затим одредити број дијагонала из једног темена и збир унутрашњих углова.

Пр.4) Код ког правилног многоугла је спољашњи угао два пута мањи од унутрашњег угла?

Пр.5) Централни угао правилног многоугла износи $\frac{2}{3}$ унутрашњег угла. Колико тај многоугао има дијагонала?

Пр.6) Израчунати централни и унутрашњи угао многоугла који има укупно 135 дијагонала.

Пр.1) 

\[\begin{gathered}
\underline {n = 10} \hfill \\
{D_n},\alpha ,{\alpha _1},\varphi = ? \hfill \\
\hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{10}} = \frac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{10}} = 35 \hfill \\
\hfill \\
{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{10}} \hfill \\
{\alpha _1} = {36^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\varphi = {\alpha _1} = {36^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {36^ \circ } \hfill \\
\alpha = {144^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2) 

\[\begin{gathered}
\underline {\varphi = {{45}^ \circ }} \hfill \\
{D_n},\alpha = ? \hfill \\
\hfill \\
\varphi = {\alpha _1} \hfill \\
{\alpha _1} = {45^ \circ } \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {45^ \circ } \hfill \\
\alpha = {135^ \circ } \hfill \\
\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
{45^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
n = 8 \hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_8} = \frac{{8\left( {8 - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_8} = 4 \cdot 5 = 20 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3) 

\[\begin{gathered}
\underline {\varphi = {{140}^ \circ }} \hfill \\
n,{d_n},{S_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
\alpha = \frac{{\left( {n - 2} \right){{180}^ \circ }}}{n} \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ } - {140^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {40^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
{40^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
n = 9 \hfill \\
{d_n} = n - 3 \hfill \\
{d_9} = 9 - 3 \hfill \\
{d_9} = 6 \hfill \\
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_9} = \left( {9 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_9} = 7 \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_9} = {1260^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4) 

\[\begin{gathered}
\underline {\alpha = 2{\alpha _1}} \hfill \\
n = ? \hfill \\
\hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
2{\alpha _1} + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
3{\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ }:3 \hfill \\
{\alpha _1} = {60^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
{60^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
n = 6 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5) 

\[\begin{gathered}
\underline {\varphi = \frac{2}{3}\alpha } \hfill \\
{D_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
\varphi = {\alpha _1} \hfill \\
{\alpha _1} = \frac{2}{3}\alpha \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + \frac{2}{3}\alpha = {180^ \circ } \hfill \\
\frac{5}{8}\alpha = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {108^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \frac{2}{3} \cdot {108^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {72^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
{72^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
n = 5 \hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_5} = \frac{{5\left( {5 - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_5} = 5 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6)

\[\begin{gathered}
\underline {{D_n} = 135} \hfill \\
\varphi ,{\alpha _1} = ? \hfill \\
\hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
135 = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 270 \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 18 \cdot 15 \hfill \\
n = 18 \hfill \\
\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{18}} \hfill \\
\varphi = {20^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \varphi \hfill \\
{\alpha _1} = {20^ \circ } \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {\alpha _1} \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {20^ \circ } \hfill \\
\alpha = {160^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]