Питагорина теорема

Питагорина теорема. Дефиниција и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Да ли правоугли троугао може имати странице дужине:

а) 7cm, 8cm, 9cm

б) 12cm, 2dm,16cm

Пр.1) Да ли правоугли троугао може имати странице дужине:

а)

$\begin{aligned}&a = 7cm \\ &b = 8cm \\ &\underline {c = 9cm} \\ &{c^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{9^2} = {7^2} + {8^2} \\ &81 = 49 + 64 \\ &81 \ne 113\end{aligned}$

не може

б)

$\begin{aligned}&a = 12cm \\ &b = 16cm \\ &\underline {c = 20cm} \\ &{c^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{20^2} = {12^2} + {16^2} \\ &400 = 144 + 256 \\ &400 = 400\end{aligned}$

може

У правоуглом троуглу квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата катета: $c^2 = a^2 + b^2$ . Хипотенуза $c$ лежи наспрам правог угла и најдужа је страница. Важи и обрнуто: ако за странице троугла важи $c^2 = a^2 + b^2$ , троугао је правоугли, а прав угао је наспрам странице $c$ .

Да бисте проверили да ли су три дужине странице правоуглог троугла, изразите их у истој јединици, највећу означите са $c$ и упоредите $c^2$ са $a^2 + b^2$ . За 3 dm, 40 cm и 50 cm то су 30, 40 и 50 cm, а $900 + 1600 = 2500 = 50^2$ , па троугао јесте правоугли. Честа грешка је да се за $c$ узме страница која није најдужа.

a² + b²: 25
c²: 25
Угао γ: 90°

Почетни троугао има странице 3, 4 и 5 и прав угао код

C

, па је

a^2 + b^2 = c^2

: два мања квадрата заједно имају површину највећег. Превуците

C

: кад је угао туп,

c^2

је веће од

a^2 + b^2

, а кад је оштар, мање.

Зидари, столари и мајстори за плочице проверавају прав угао правилом „3, 4, 5“: ако се на крацима угла одмери 3 и 4 јединице, растојање између тих ознака мора бити 5. Правило важи у свакој размери, на пример 60 cm, 80 cm и 1 m.

Прав угао темеља

Мајстор канапима обележава темељ гараже. Од угла мери 60 cm дуж једног канапа и 80 cm дуж другог, па мери растојање између те две ознаке. Колико мора бити то растојање да би угао био прав? Ако измери 102 cm, да ли је угао прав?

Решење

Ако је угао прав, ознаке и угао чине правоугли троугао са катетама 60 cm и 80 cm, а растојање ознака је хипотенуза.
$c^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10\,000$ , па је $c = 100$ cm.
За 102 cm је $102^2 = 10\,404$ , а $60^2 + 80^2 = 10\,000$ . Пошто је $10\,404 \ne 10\,000$ , троугао није правоугли.
Ознаке су удаљеније од 100 cm, па је угао мало већи од правог и други канап треба мало примаћи првом.

Одговор: Растојање мора бити тачно 100 cm, односно 1 m; са 102 cm угао није прав.

Задатак за вежбу

Да ли троугао са страницама 1,5 dm, 20 cm и 25 cm може бити правоугли? А троугао са страницама 9 cm, 12 cm и 16 cm?

Прикажи решење

Први може: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ . Други не може: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ , а $16^2 = 256$ .