Обим и површина правилног шестоугла.

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дужина странице правилног шестоугла је 6cm. Израчунати:

           а) обим,

           б) површину,

           в) дужину краће дијагонале,

           г) дужину дуже дијагонале,

           д) дужину полупречника описане кружнице,

           ђ) дужину полупречника уписане кружнице.

Пр.2)   Обим правилног шестоугла је 12cm. Израчунати површину

            тог шестоугла.

Пр.3)   Површина правилног шестоугла износи $24\sqrt 3 c{m^2}$.

            Израчунати дужину дуже дијагонале тог шестоугла.

Пр.4)   Ако дужина полупречника уписане кружнице износи 6cm,

            израчунати обим и површину тог шестоугла.

Пр.5)   Квадрат и правилан шестоугао имају једнаке површине.

           Ако је површина квадрата $108\pi c{m^2}$, израчунати

            површину шестоугла.

Пр.1)   

\[\begin{gathered}
\underline {a = 6cm} \hfill \\
O,P,{d_m},{d_v},{r_o},{r_u} = ? \hfill \\
\hfill \\
O = 6 \cdot a \hfill \\
O = 6 \cdot 6 \hfill \\
O = 36cm \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{36\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 54\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
{d_m} = a\sqrt 3 \hfill \\
{d_m} = 6\sqrt 3 cm \hfill \\
{d_v} = 2a \hfill \\
{d_v} = 2 \cdot 6 = 12cm \hfill \\
{r_o} = a \hfill \\
{r_o} = 6cm \hfill \\
{r_u} = \frac{{{d_m}}}{2} \hfill \\
{r_u} = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   

\[\begin{gathered}
\underline {O = 12cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
O = 6 \cdot a \hfill \\
12 = 6 \cdot a \hfill \\
a = 2cm \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)   

\[\begin{gathered}
\underline {P = 24\sqrt 3 c{m^2}} \hfill \\
{d_v} = ? \hfill \\
\hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
24\sqrt 3 = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{24\sqrt 3 }}{6} \hfill \\
\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \hfill \\
{a^2}\sqrt 3 = 16\sqrt 3 \hfill \\
{a^2} = 16 \hfill \\
a = 4cm \hfill \\
{d_v} = 2a \hfill \\
{d_v} = 2 \cdot 4 = 8cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
\underline {{r_u} = 6c{m^2}} \hfill \\
O,P = ? \hfill \\
\hfill \\
{r_u} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
6 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
a\sqrt 3 = 12 \hfill \\
a = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{12\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 cm \hfill \\
O = 6 \cdot a \hfill \\
O = 6 \cdot 4\sqrt 3 \hfill \\
O = 24\sqrt 3 cm \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{16 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 72\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)   

\[\begin{gathered}
{O_k} = {O_6} \hfill \\
\underline {{P_k} = 108c{m^2}} \hfill \\
{P_6} = ? \hfill \\
\hfill \\
{P_k} = {a_k}^2 \hfill \\
108 = {a_k}^2 \hfill \\
{a_k} = 6\sqrt 3 cm \hfill \\
{O_k} = 4 \cdot a \hfill \\
{O_k} = 4 \cdot 6\sqrt 3 \hfill \\
{O_k} = 24\sqrt 3 cm \hfill \\
{O_6} = 24\sqrt 3 cm \hfill \\
{O_6} = 6 \cdot a \hfill \\
24\sqrt 3 = 6 \cdot a \hfill \\
a = \frac{{24\sqrt 3 }}{6} = 4\sqrt 3 cm \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 6 \cdot \frac{{16 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
P = 72\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]