Дијагонале и углови многоугла

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Ако су у конвексном многоуглу из једног темена може повући 7 дијагонала, одредити:

(а) који је то многоугао      (б) збир његових унутрашњих углова      (в) укупан број дијагонала.

Пр.2) Ако је збир унутрашњих углова у конвексном многоуглу износи ${1620^ \circ }$, одреди:

(а) који је то многоугао    (б) број дијагонала из једног темена   (в) укупан број дијагонала.

Пр.3) Укупан број дијагонала у конвексном многоуглу износи 44, одреди:

(а) који је то многоугао    (б) број дијагонала из једног темена   (в) збир његових унутрашњих углова.

Пр.4) Одредити збир унутрашњих углова у многоуглу који има онолико страница колико укупно има дијагонала.

Пр.5) Који многоугао има 8 пута више дијагонала него што има страница?

Пр.6) Одредити укупан број дијагонала ногоугла код кога је разлика збир унутрашњих углова и збира спољашних углова једнака ${900^ \circ }$.

Пр.1)

\[\begin{gathered}
\underline {{d_n} = 7} \hfill \\
n = ?{S_n} = ?{D_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{d_n} = n - 3 \hfill \\
7 = n - 3 \hfill \\
n = 7 + 3 \hfill \\
n = 10 \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{10}} = \left( {10 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{10}} = 8 \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{10}} = {1440^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{10}} = \frac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{10}} = \frac{{70}}{2} \hfill \\
{D_{10}} = 35 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2) 

\[\begin{gathered}
\underline {{S_n} = {{1620}^ \circ }} \hfill \\
n = ?{d_n} = ?{D_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{1620^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
n - 2 = \frac{{{{1620}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \hfill \\
n - 2 = 9 \hfill \\
n = 9 + 2 \hfill \\
n = 11 \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{d_n} = n - 3 \hfill \\
{d_{11}} = 11 - 3 \hfill \\
{d_{11}} = 8 \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{11}} = \frac{{11\left( {11 - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{11}} = \frac{{88}}{2} \hfill \\
{D_{11}} = 44 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3) 

\[\begin{gathered}
\underline {{D_n} = 44} \hfill \\
n = ?{d_n} = ?{S_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
44 = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 44 \cdot 2 \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 88 \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 11 \cdot 8 \hfill \\
n = 11 \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{d_n} = n - 3 \hfill \\
{d_{11}} = 11 - 3 \hfill \\
{d_{11}} = 8 \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{11}} = \left( {11 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{11}} = {1620^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4) 

\[\begin{gathered}
\underline {{D_n} = n} \hfill \\
{S_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 2n \hfill \\
n - 3 = \frac{{2n}}{n} \hfill \\
n - 3 = 2 \hfill \\
n = 5 \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_6} = \left( {6 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_6} = 4 \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_6} = {720^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5) 

\[\begin{gathered}
\underline {{D_n} = 8n} \hfill \\
n = ? \hfill \\
\hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
8n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 16n \hfill \\
n - 3 = \frac{{16n}}{n} \hfill \\
n - 3 = 16 \hfill \\
n = 19 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6) 

\[\begin{gathered}
\underline {{S_n} - {S_n}^\prime = {{900}^ \circ }} \hfill \\
{D_n} = ? \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
{S_n} - {S_n}^\prime = {900^ \circ } \hfill \\
{S_n} - {360^ \circ } = {900^ \circ } \hfill \\
{S_n} = {900^ \circ } + {360^ \circ } \hfill \\
{S_n} = {1260^ \circ } \hfill \\
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{1260^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
n - 2 = \frac{{{{1260}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \hfill \\
n - 2 = 7 \hfill \\
n = 7 + 2 \hfill \\
n = 9 \hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_n} = \frac{{9\left( {9 - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_n} = 27 \hfill \\
\end{gathered} \]