Вектори – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Ако је тачка $ABCD$ паралелеограм, докажи да је:    $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} $ и $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {CB} $

Пр.2  Ако је тачка $M$ средина дужи $AB$ И $T$ произвољна тачка ван те дужи. Докажи да је: $\overrightarrow {TM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {TA}  + \overrightarrow {TB} } \right)$

Пр.3   Докажи да је средња линија троугла једнака половини наспрамне странице и паралелна је са њом.

Пр.1

$\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  =  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}$

$\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {CB}$

Пр.2 

\[\begin{gathered}
\left. \begin{gathered}
\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {AM} \hfill \\
\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {BM} \hfill \\
\end{gathered} \right| + \hfill \\
2\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} \hfill \\
\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0 \hfill \\
\left. {2\overrightarrow {TM} = \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} } \right| \div 2 \hfill \\
\overrightarrow {TM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} } \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3

$MN = \frac{1}{2}AB$,   $MN\left\| {AB.} \right.$   Оно можемо преписати као $\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {TB} $

\[\begin{gathered}
\left. \begin{gathered}
\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \hfill \\
\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\
\end{gathered} \right| + \hfill \\
2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {BN} \hfill \\
\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \hfill \\
\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow 0 \hfill \\
\left. {2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} } \right| \div 2 \hfill \\
\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \hfill \\
\end{gathered} \]