Тригонометријске функције оштрог угла – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Дијагонале ромба износе $16cm$ и $20cm$. Одреди вредности

          свих триегонометријских функција углова које образује страница

          ромба са његовим дијагоналама.

Пр.2   Катета правоуглог троугла је $a = 16cm$, а $\sin \alpha  = \frac{1}{2}$.

          Одреди странице овог троугла као и тригонометријске вредности

          угла $\beta $.

Пр.1

Углови које образује страница $a $ ромба са његовим дијагоналама $d_1$ и $d_2$ означимо са $\alpha $ и $\beta. $

\[\begin{gathered}
{\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = {a^2} \hfill \\
{8^2} + {6^2} = {a^2} \hfill \\
64 + 36 = {a^2} \hfill \\
{a^2} = 100 \hfill \\
a = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
\sin \alpha = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5} \hfill \\
\cos \alpha = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5} \hfill \\
tg\alpha = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \hfill \\
ctg\alpha = \frac{4}{3} \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{5} \hfill \\
\cos \beta = \sin \alpha = \frac{3}{5} \hfill \\
tg\beta = ctg\alpha = \frac{4}{3} \hfill \\
ctg\beta = tg\alpha = \frac{3}{4} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2

Имамо $a = 16cm$, а $\sin \alpha  = \frac{1}{2}$, и знамо да jе $\sin \alpha  = \frac{a}{c}$. Онда

\[\frac{1}{2} = \frac{{16}}{c} \Rightarrow c = 2 \cdot 16 \Rightarrow c = 32cm\]

\[{b^2} = {c^2} - {a^2} \Rightarrow {b^2} = 1024 - 256 \Rightarrow b = 16\sqrt 3 cm\]

\[\begin{gathered}
\sin \beta = \frac{b}{c} = \frac{{16\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
\cos \beta = \frac{a}{c} = \frac{{16}}{{32}} = \frac{1}{2} \hfill \\
tg\beta = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 \hfill \\
ctg\beta = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
\beta = {60^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]