Скупови – пример 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Докажи скуповну једнакост:

Пр.1   $A \cup \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cup C$

Jеднакост jе \[A \cup \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cup C\]   еквивалентна сваком од наредних услова:

\[\begin{gathered}
\left( {\forall x} \right)\left( {x \in \left( {A \cup \left( {B \cup C} \right)} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in \left( {\left( {A \cup B} \right) \cup C} \right)} \right) \hfill \\
\left( {\forall x} \right)\left( {x \in A \vee x \in \left( {B \cup C} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in \left( {A \cup B} \right) \vee x \in C} \right) \hfill \\
\left( {\forall x} \right)\left( {x \in A \vee \left( {x \in B \vee x \in C} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\left( {x \in A \vee x \in B} \right) \vee x \in C} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

Ако са p означимо $x \in A$,са q - $x \in B$ и са r - $x \in C$, на оваj начин нашу скуповну једнакост преводимо у исказну форму, имамо \[\left( {p \vee \left( {q \vee r} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\left( {p \vee q} \right) \vee r} \right)\]

Показаћемо да је формула коју смо добили таутологиjа, табличним методом.

Са A означимо ${p \vee \left( {q \vee r} \right)}$, са B означимо ${\left( {p \vee q} \right) \vee r}$

 Наша формула jе тачна за све вредности исказних слова, односно она jе таутологиjа. Ми смо показали да jе исказна формула таутологија, односно наша скуповна jеднакост jе тачна.