Геометрија – подударност троуглова 3

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.5   Докажи да су два троугла подударни ако су им једнаки

           једна страница, висина на ту страницу и тежишна дуж

           која одговара тој страници.

Пр.5

Потребно је показати да су два троугла $\vartriangle ABC$ и$\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни. Нека $CD=h_c$ и ${C_1}{D_1}=h_{c_1}$ су висине $\vartriangle ABC$ и$\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1},$ а $CE=t_c$ и ${C_1}{E_1}=t_{c_1}$ су тежишне дужи ових троуглова.

Односно $E$ je средина дужи $AB$ и ${E_1}$ je средина дужи$A_1B_1.$

\[AE = EB = \frac{c}{2}\]

\[{A_1}{E_1} = {E_1}{B_1} = \frac{{{c_1}}}{2}\]

За троуглове $\vartriangle DEC$ и $\vartriangle {D_1}{E_1}{C_1}$ знамо

\[{t_c} = {t_{c_1}},{h_c} = {h_{c_1}},\angle CDE = \angle C_1D_1E_1=90^\circ\]

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle DEC$ и $\vartriangle {D_1}{E_1}{C_1}$ подударни (ССУ), онда $ \angle DEC  = \angle {D_1}{E_1}{C_1} $  и онда $ \angle CEB  = \angle {C_1}{E_1}{B_1}.$

За троуглове $\vartriangle CEB$ и $\vartriangle {C_1}{E_1}{B_1}$ знамо

\[{t_c} = {t_{c_1}}, \angle CEB = \angle C_1E_1B_1,\frac{c}{2}= \frac{{{c_1}}}{2}\]

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle CEB$ и $\vartriangle {C_1}{E_1}{B_1}$ подударни (СУC), онда \[a = {a_1},\angle \beta = \angle \beta_1\]

За $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ имамо 

\[a = {a_1},c = {c_1},\angle \beta = \angle \beta_1\]

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни (ССУ).