Геометрија – подударност троуглова 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3   Докажи да су два троугла подударни ако су подударне по једна

           страница и висине на друге две странице.

Пр.4   Докажи да су два троугла подударни ако су им подударни следећи

           елементи: $\alpha  = {\alpha _1},\beta  = {\beta _1},{h_c} = {h_{{c_1}}}$.

Пр.3

Потребно показати да су два троугла $\vartriangle ABC$ и$\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни.

Нека су $CD={h_c},$   $BE={h_b}$   и   ${C_1}{D_1}= {h_{c_1}},$   ${B_1}{E_1}= {h_{b_1}}$ висине $\vartriangle ABC$ и$\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}.$

За троуглове $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ знамо

\[a = {a_1},{h_c} = {h_{c_1}},\angle CDB = \angle C_1D_1B_1=90^\circ\]

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ подударни (ССУ), онда $ \angle \beta  = \angle {\beta _1}.$

За троуглови $\vartriangle BCE$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{E_1}$ знамо

\[a = {a_1},{h_b} = {h_{b_1}},\angle CEB = \angle C_1E_1B_1=90^\circ\]

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle BCЕ$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{E_1}$ подударни (ССУ), онда $ \angle \gamma  = \angle {\gamma _1}.$

За $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ имамо 

\[a = {a_1},\angle \beta  = \angle {\beta _1}, \angle \gamma  = \angle {\gamma _1}.\]

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни (УСУ).

Пр.4

За троуглове $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ знамо

\[{h_c} = {h_{c_1}}, \angle \beta  = \angle {\beta _1}, \angle CDB = \angle C_1D_1B_1=90^\circ\]

Онда $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1.$

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle BCD$ и $\vartriangle {B_1}{C_1}{D_1}$ подударни (УСУ), онда $ a = {a_1}, DB = D_1В_1.$

За троуглови $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ знамо

\[{h_c} = {h_{c_1}}, \angle \alpha  = \angle {\alpha _1},\angle CDA = \angle C_1D_1A_1=90^\circ\]

Онда $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1.$

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ADC$ и $\vartriangle {A_1}{D_1}{C_1}$ подударни (УСУ), онда $ b = {b_1}, AD = A_1D_1.$

Даље можемо да запишмо

$AD+DB = {A_1}{D_1}+{D_1}{B_1}$ или  $с =с_1.$

За $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ имамо 

\[а = {а_1},b = {b_1},c = {c_1}\]

Из овoг закључуjемо да су троуглови $\vartriangle ABC$ и $\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ подударни (ССС).