Геометрија – израчунавање углова троугла 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3   Одреди све спољашње и све унутрашње углове једнакостраниччног

           троугла, ако је угао између симетрале угла на основици и весине

           на крак из истог темена $20^\circ $.

Пр.4   Угао између висина на краке једнакостраничног троугла је $130^\circ $.

          Одреди све унутрашње и све спољашње углове троутроугла као и

          $\sphericalangle \left( {{s_\alpha },{h_c}} \right)$.

Пр.3

Нека је jеднакокраки троугао, троугао $\vartriangle ABC$, код кога су две странице једнаке и два угла који су на основици у овом троуглу су једнаки. Означимо ове углове са $\alpha,$ а трећи угао са $\gamma.$ Означимо тачку пресека симетрале $\angle A$ и наспрамне  странице са $D$, а тачку пресека висине $\angle A$ и наспрамне  странице са $E$.

Погледамо на$\vartriangle AED$. Унутрашне углове овог троугла су ${20^ \circ },$ ${90^ \circ },$ и $\varphi $

Збир унутрашњих углова троугла је 180°.

\[\begin{gathered}
{20^ \circ } + {90^ \circ } + \varphi = {180^ \circ } \hfill \\
{110^ \circ } + \varphi = {180^ \circ } \hfill \\
\varphi = {70^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Збир унутрашњих углова троугла $\vartriangle ABD$ је 180°.

\[\frac{\alpha }{2} + \alpha  + \varphi  = {180^ \circ }\]

\[\frac{3}{2}\alpha  = {180^ \circ }\]

\[\frac{3}{2}\alpha  = {110^ \circ }\]

\[\alpha  = {73^ \circ }20'\]

За троугао $\vartriangle ABC$ збир углова jе:

\[\alpha  + \alpha  + \gamma  = {180^ \circ }\]

\[2\alpha  + \gamma  = {180^ \circ }\]

\[{146^ \circ }40' + \gamma  = {180^ \circ }\]

\[\gamma  = {33^ \circ }20'\] 

Означимо са ${\alpha _1}$ и са ${\gamma _1}$ спољашње углове троугла $\vartriangle ABC.$

\[\alpha  + {\alpha _1} = {180^ \circ }\]

\[{73^ \circ }20' + {\alpha _1} = {180^ \circ }\]

\[{\alpha _1} = {106^ \circ }40'\]

\[\gamma  + {\gamma _1} = {180^ \circ }\]

\[{33^ \circ }20' + {\gamma _1} = {180^ \circ }\]

\[{\gamma _1} = {146^ \circ }40'\]

Пр.4

Имамо jеднакокраки троугао $\vartriangle ABC$ код кога су два угла  на основици једнаки. Означимо ове углове са $\alpha,$ а трећи угао са $\gamma.$ Означимо тачку пресека висине $\angle A$ и наспрамне  странице са $М$, а тачку пресека висине $\angle В$ и наспрамне  странице са $N$, тачку пресека висина означимо са $H$

Збир унутрашњих углова  $\square NHMC$ је 360°.

\[{90^ \circ } + {130^ \circ } + {90^ \circ } + \gamma  = {360^ \circ }\]

\[{310^ \circ } + \gamma  = {360^ \circ }\]

\[\gamma  = {50^ \circ }\]

За троугао $\vartriangle ABC$ збир углова jе:

\[\alpha  + \alpha  + \gamma  = {180^ \circ }\]

\[2\alpha  + {50^ \circ } = {180^ \circ }\]

\[2\alpha  = {130^ \circ }\]

\[\alpha  = {65^ \circ }\]

Означимо са ${\alpha _1}$ и са ${\gamma _1}$ спољашње углове троугла $\vartriangle ABC.$

\[\alpha  + {\alpha _1} = {180^ \circ }\]

\[{65^ \circ } + {\alpha _1} = {180^ \circ }\]

\[{\alpha _1} = {115^ \circ }\]

\[\gamma  + {\gamma _1} = {180^ \circ }\]

\[{50^ \circ } + {\gamma _1} = {180^ \circ }\]

\[{\gamma _1} = {130^ \circ }\]

Означимо тачку пресека симетрале $\angle A$ и висине $\angle С$ са $Р$. Знамо да висина$\angle С$  jеднакокраког троугла $\vartriangle ABC$   jесте и симетрала овог угла.

За $\vartriangle ACP$ важи:

\[\frac{\alpha }{2} + \frac{\gamma }{2} + \varphi  = {180^ \circ }\]

\[{32^ \circ }30' + {25^ \circ } + \varphi  = {180^ \circ }\]

\[{57^ \circ }30' + \varphi  = {180^ \circ }\]

\[\varphi  = {122^ \circ }30\]