Геометрија – израчунавање углова троугла 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Симетрала угла на основи једнакокраког троугла заклапа

           са наспрамним краком угао од $75^\circ $. Одреди све унутрашње

           и све спољашње углове тог троугла.

пр.2)   Ако је угао $\alpha $ троугла $ABC$ $\frac{1}{3}$ одговарајућег спо-

          љашњег угла и угао  $\beta $ за $15^\circ $ већи од угла $\alpha $.

           Одреди све унутрашње и све спољашње углове тог троугла, као и

           $\sphericalangle \left( {{s_\beta },{s_g}} \right)$.

Пр.1

Једнакокраки троугао је троугао код кога су две странице једнаке и два угла који су на основици у овом троуглу су једнаки. Направим скицу.

Означимо два угла који су на основици са $\alpha$ а трећи угао са $\gamma.$ Означимо тачку пресека симетрале $\angle A$ и наспремне  странице са D. Унутрашње углове троугла$\vartriangle ABD$ су$\angle \alpha,$ $\angle \frac{\alpha }{2},$ и $\angle BDA = {75^ \circ. }$

Збир унутрашњих углова у троуглу је 180°.

\[\begin{gathered}
\frac{\alpha }{2} + \alpha + {75^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\frac{\alpha }{2} + \frac{{2\alpha }}{2} = {180^ \circ } - {75^ \circ } \hfill \\
\frac{{3\alpha }}{2} = {105^ \circ } \hfill \\
\alpha = {70^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

На исти начин  из $\vartriangle ABC$ добићемо $\angle \gamma.$

\[\begin{gathered}
\alpha + \alpha + {\gamma ^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
{140^ \circ } + {\gamma ^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {40^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Израчунамо спољашње углове  троугла $\vartriangle ABC.$

\[\begin{gathered}
\alpha + \alpha 1 = {180^ \circ } \hfill \\
{70^ \circ } + \alpha 1 = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha 1 = {110^ \circ } \hfill \\
\gamma + \gamma 1 = {180^ \circ } \hfill \\
{40^ \circ } + \gamma 1 = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma 1 = {140^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр. 2 Направим скицу.

Означимо унутрашње углове троугла са $\alpha,$ $\beta$  и $\gamma,$ а одговараjуће спољашње углове са ${\alpha _1},$ ${\beta _1}$  и ${\gamma _1}.$

Онда 

\[\begin{gathered}
\alpha = \frac{1}{3}{\alpha _1} \hfill \\
\end{gathered} \]

Одакле добићемо

\[\begin{gathered}
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\frac{1}{3}{\alpha _1} + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\frac{4}{3}{\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {135^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
\alpha + {135^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {45^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Даље имамо

\[\beta  = \alpha  + {15^ \circ }\]

Одакле добићемо

\[\beta  = {60^ \circ }\]

Онда

\[\begin{gathered}
\beta + {\beta _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{60^ \circ } + {\beta _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = {120^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Збир унутрашњих углова у троуглу је 180°, онда

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
{45^ \circ } + {60^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {75^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{75^ \circ } + {\gamma _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = {105^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Jош нам jе потребно израчунати угао $\delta $ између симетрале ${s_\beta }$ и ${s_\gamma }.$

Нека је $S$ тачка пресека правих ${s_\beta }$ и ${s_\gamma }.$ 

За троугао $\vartriangle SBC$ важи да

\[\frac{\beta }{2} + \frac{\gamma }{2} + \delta  = {180^ \circ }\]

\[{30^\circ } + {37^\circ }30' + \delta  = {180^\circ }\]

\[\delta  = {112^ \circ }30'\]