Геометрија – израчунавање углова

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Одреди угао који је од свог комплементарног угла већи

           за $3^\circ $.

Пр.2   Одреди угао који је од свог суплементарног угла већи

           7 пута.

Пр.3   Одреди угао који је од свог суплементарног угла мањи тачно

           онолико колико је већи од свог комлементарног угла.

Пр.4   Дате су две паралелне праве пресечене трећом.

          Одреди све углове на трансверзали ако је разлика два спољашња

          супротна угла $1\frac{2}{5}$ правог угла.

Пр.1 Два угла $\alpha$ и $\beta $ су комплементни ако jе нихов збир $90^\circ. $ Онда 

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta = {90^ \circ } \hfill \\
\underline {\alpha = \beta + 3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Потребно је решити систем ове две jедначине

\[\beta  + 3 + \beta  = {90^ \circ }\]

\[2\beta  = {90^ \circ } - {3^ \circ }\]

\[2\beta  = {87^ \circ }\]

\[\beta  = 87 \div 2\]

\[\beta  = {43^ \circ }30'\]

\[\alpha  = {46^ \circ }30'\]

Пр.2 Два угла $\alpha$ и $\beta $ су суплементни ако jе нихов збир $180^\circ. $ Онда 

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta = {180^ \circ } \hfill \\
\underline {\alpha = 7\beta } \hfill \\
\end{gathered} \]Потребно je решити систем ове две jедначине

\[7\beta  + 3 = {180^ \circ }\]

\[8\beta  = {180^ \circ }\]

\[\beta  = 180 \div 8\]

\[\beta  = {22^ \circ }30'\]

\[\alpha  = 7\beta \]

\[\alpha  = {157^ \circ }30'\]

Пр.3 Два угла $\alpha$ и $\beta $ су суплементни ако jе нихов збир $180^\circ. $ Онда

\[\alpha  + \beta  = {180^ \circ }\]

Знамо да jе $\alpha  < \beta $ онда $\beta  = \alpha  + x$

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta = {180^ \circ } \hfill \\
\underline {\beta = \alpha + x} \hfill \\
\end{gathered} \]Потребно је решити систем ове две jедначине

\[\begin{gathered}
\alpha + \alpha + x = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha + x = {180^ \circ } \hfill \\
\boxed{x = {{180}^ \circ } - 2\alpha } \hfill \\
\end{gathered} \]

Два угла $\alpha$ и $\beta_1 $ су комплементни ако jе нихов збир $90^\circ. $ Онда \[\alpha  + \beta_1 = {90^ \circ }\]

Знамо да jе $\alpha  > \beta_1$ онда $\beta_1 = \alpha  - x$

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta_1 = {90^ \circ } \hfill \\
\underline {\beta_1 = \alpha - x} \hfill \\
\end{gathered} \] Потребно је решити систем ове две jедначине

\[\begin{gathered}
\alpha + \alpha - x = {90^ \circ } \hfill \\
2\alpha - x = {90^ \circ } \hfill \\
\boxed{x = 2\alpha - {{90}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} \]

\[{180^ \circ } - 2\alpha  = 2\alpha  - {90^ \circ }\]

\[4\alpha  = {180^ \circ } + {90^ \circ }\]

\[4\alpha  = {270^ \circ }\]

\[\alpha  = {67^ \circ }30'\]

Пр.4

Два угла $\alpha$ и $\delta_1$ су два спољашња супротна угла, онда $\alpha  + \delta_1 = {180^ \circ }$

\[\begin{gathered}
\alpha + \delta_1 = {180^ \circ } \hfill \\
\underline {\alpha - \delta_1 = 1\frac{2}{5} \cdot 90} \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
2\alpha = {180^ \circ } + 1\frac{2}{5} \cdot {90^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {180^ \circ } + \frac{7}{5} \cdot {90^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {180^ \circ } + {126^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {306^ \circ } \hfill \\
\alpha = {153^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Углови $\alpha$ и $\gamma$ и $\alpha_1$ и $\gamma_1$су парови унакрсних, међусобно једнаких углова. Углови $\alpha$ и $\alpha_1$  су једнаки углови са исте стране трансверзале. Овакви парови углова називају се сагласни углови. Онда

\[\alpha  = \gamma_1 = \alpha_1 = \gamma_1 = {153^ \circ. }\]

\[\begin{gathered}
{153^ \circ } + \delta_1 = {180^ \circ } \hfill \\
\delta_1 = {180^ \circ } - {153^ \circ } \hfill \\
\delta_1 = 27 \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\delta_1 = \beta_1 = \delta  = \beta  = {27^ \circ }\]