Талесова теорема 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати дужину дужи $SD$ (са слике)

ако је $AB\parallel CD$ и:

           а) $SC = 6cm,CA = 3cm,BC = 6cm$

           б) $SA = 7cm,BD = 1,4dm,SC = 2SA$

           в) $SA = 6cm,AC = 0,4dm,SB = 0,09m$

Пр.2)   У троуглу $ABC$ дуж $DE$ је паралелна страници $AB$ (види слику).

Израчунати:

           а) дужину дужи $BC$ ако је $AC = 12cm,CD = 4cm,CE = 8cm$

           б) дужину дужи $BE$ ако је $AC = 15cm,AD = 3cm,BC = 25cm$.

Пр.3)   Дужи $AB$ и $CD$ са слике су паралелне.

Израчунати дужину дужи $BM$ и $CM$.

Пр.1) Оваj задатак решавам применом Талесове теореме.

а) имамо $SC = 6cm,CA = 3cm,BC = 6cm$. Потребно израчунати дужину дужи $SD$.

Саставимо пропорциjу:

\[\begin{gathered}
  SD:SC = BD:AC \hfill \\
  SD:6 = 6:3 \hfill \\
  3 \cdot SD = 6 \cdot 6 \hfill \\
  SD = \frac{{6 \cdot 6}}{3} \hfill \\
  SD = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \]

б) Имамо $SA = 7cm,BD = 1,4dm,SC = 2SA$

Израчунамо прво $BD = 1,4dm = 14cm$ и $SC{\text{ }} = {\text{ }}2SA = 2 \cdot 7 = 14cm$. Онда израчунамо $AC{\text{ }} = 14- 7 = 7cm$.

Саставимо пропорциjу:

\[\begin{gathered}
  SD:SC = BD:AC \hfill \\
  SD:14 = 14:7 \hfill \\
  7 \cdot SD = 14 \cdot 14 \hfill \\
  SD = \frac{{14 \cdot 14}}{7} \hfill \\
  SD = 28cm \hfill \\
\end{gathered} \]

в) Имамо $SA = 6cm,AC = 0,4dm,SB = 0,09m$

Саставимо пропорциjу:

\[\begin{gathered}
  SD:SC = SB:SA \hfill \\
  SD:10 = 9:6 \hfill \\
  6 \cdot SD = 10 \cdot 9 \hfill \\
  SD = \frac{{10 \cdot 9}}{6} \hfill \\
  SD = 15cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   У троуглу $ABC$ дуж $DE$ је паралелна страници $AB$. Оваj задатак решавам применом Талесове теореме.

           а)

\[\begin{gathered}
  AC:CB = CB:CE \hfill \\
  12:CB = 4:8 \hfill \\
  4 \cdot CB = 12 \cdot 8 \hfill \\
  CB = \frac{{12 \cdot 8}}{4} \hfill \\
  CB = 24cm \hfill \\
\end{gathered} \]

           б)

\[\begin{gathered}
  AC:CB = AD:BE \hfill \\
  15:25 = 3:BE \hfill \\
  15 \cdot BE = 25 \cdot 3 \hfill \\
  BE = \frac{{25 \cdot 3}}{{15}} \hfill \\
  BE = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)   Дужи $AB$ и $CD$ са слике су паралелне.

Из овог података $\measuredangle MDC = \measuredangle MBA,\measuredangle MAB = \measuredangle MCD$ (унутрашњи углови). Онда $\vartriangle MDC \sim \vartriangle MBA$.

Из сличности троуглова следи да одговараjуће странице су пропорционалне.

\[\begin{gathered}
  CD:AB = CM:AM \hfill \\
  1,5:6 = CM:4 \hfill \\
  6 \cdot CM = 4 \cdot 1,5 \hfill \\
  CM = \frac{{4 \cdot 1,5}}{6} \hfill \\
  SD = 1cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  CD:AB = DM:BM \hfill \\
  1,5:6 = 2:BM \hfill \\
  1,5 \cdot BM = 2 \cdot 6 \hfill \\
  BM = \frac{{2 \cdot 6}}{{1,5}} \hfill \\
  SD = 8cm \hfill \\
\end{gathered} \]