Површина пирамиде

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати површину правилне четворостране пирамиде чија је

           основна ивица 6 cm, а апотема 9 cm.

Пр.2)   Израчунати површину правилне четворостране пирамиде чија је

           основна ивица 10 cm, а бочна ивица 13cm.

Пр.3)   Површина основе правилне четворостране пирамиде је 144 $c{m^2}$,

           а висина пирамиде је 8cm. Израчунати површину.

Пр.4)   Површина правилне четворостране пирамиде је 84$c{m^2}$, а

           површина омотача је 48$c{m^2}$. Израчунати бочну ивицу и

           висину пирамиде.

Пр.5)   Површина омотача правилне четворостране пирамиде је 432$c{m^2}$,

           а основна и бочна ивица су у размери 6:5. Израчунати површину

           те пирамиде.

Пр.1)

\[\begin{gathered}
a = 6cm \hfill \\
\underline {h = 9cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
P = B + M \hfill \\
B = {a^2} = {6^2} = 36c{m^2} \hfill \\
M = 4 \cdot \frac{{a \cdot h}}{2} = 4 \cdot \frac{{6 \cdot 9}}{2} = 108c{m^2} \hfill \\
P = 36 + 108 = 144c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

\[\begin{gathered}
a = 10cm \hfill \\
\underline {s = 13cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{13^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{13^2} = {h^2} + {\left( 5 \right)^2} \hfill \\
169 = {h^2} + 25 \hfill \\
{h^2} = 169 - 25 \hfill \\
{h^2} = 144 \hfill \\
h = 12cm \hfill \\
\hfill \\
B = {a^2} \hfill \\
B = {10^2} = 100c{m^2} \hfill \\
M = 4 \cdot \frac{{a \cdot h}}{2} = 4 \cdot \frac{{10 \cdot 12}}{2} = 240c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = B + M \hfill \\
P = 100 + 240 = 340c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3) 

\[\begin{gathered}
B = 144c{m^2} \hfill \\
\underline {H = 8cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
P = B + M \hfill \\
\hfill \\
M = 4\frac{{a \cdot h}}{2} \hfill \\
B = {a^2} \hfill \\
144 = {a^2} \hfill \\
a = 12cm \hfill \\
\hfill \\
{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h^2} = {8^2} + {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h^2} = 64 + 36 \hfill \\
{h^2} = 100 \hfill \\
h = 10cm \hfill \\
\hfill \\
M = 4\frac{{12 \cdot 10}}{2} = 240c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = B + M = 144 + 240 = 384c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
P = 84c{m^2} \hfill \\
\underline {M = 48c{m^2}} \hfill \\
s,H = ? \hfill \\
\hfill \\
P = B + M \hfill \\
84 = B + 48 \hfill \\
B = 84 - 48 = 36c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
B = {a^2} \hfill \\
36 = {a^2} \hfill \\
a = \sqrt {36} = 6cm \hfill \\
\hfill \\
M = 4\frac{{a \cdot h}}{2} \hfill \\
48 = 4\frac{{6 \cdot h}}{2} \hfill \\
48 = 12 \cdot h \hfill \\
h = 48:12 = 4cm \hfill \\
\hfill \\
{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{4^2} = {H^2} + {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \hfill \\
16 = {H^2} + 9 \hfill \\
{H^2} = 16 - 9 = 7 \hfill \\
H = \sqrt 7 cm \hfill \\
\hfill \\
{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{s^2} = {4^2} + {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \hfill \\
{s^2} = 16 + 9 \hfill \\
{s^2} = 25 \hfill \\
s = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)   

\[\begin{gathered}
a:s = 6:5 \hfill \\
a = 6k \hfill \\
s = 5k \hfill \\
\underline {M = 48c{m^2}} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{\left( {5k} \right)^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{6k}}{2}} \right)^2} \hfill \\
25{k^2} = {h^2} + {\left( {3k} \right)^2} \hfill \\
25{k^2} = {h^2} + 9{k^2} \hfill \\
{h^2} = 16{k^2} \hfill \\
h = 4k \hfill \\
\hfill \\
M = 4\frac{{a \cdot h}}{2} \hfill \\
432 = 4 \cdot \frac{{6k \cdot 4k}}{2} \hfill \\
432 = 48 \cdot \frac{{6k \cdot 4k}}{2} \hfill \\
432 = 48 \cdot {k^2} \hfill \\
{k^2} = 9 \hfill \\
k = 3 \hfill \\
\hfill \\
a = 6k = 6 \cdot 3 = 18cm \hfill \\
B = {a^2} = {18^2} = 324c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = B + M = 324 + 432 = 756c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]