Ортогонална пројекција – задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати дужину ортогоналне пројекције дужи $AB = 15cm$ на раван $\alpha $. Тачка А припада равни $\alpha $, а тачка $B$ је удаљена од равни $\alpha $ 9cm.

Пр.2)   Израчунати дужину $AB$ чија је ортогонална пројекција на раван $\alpha $ дужине 15cm, тачка $B$ припрада равни $\alpha $, а тачка $A$ је удаљена од равни $\alpha $ 8cm.

Пр.3)   Израчунати дужину ортогоналне пројекције дужи $AB = 12cm$ на раван $\alpha $, ако тачка $A$ припада равни $\alpha $, а права која садржи тачке $A$ и $B$ сече раван $\alpha $ под углом од ${60^ \circ }$.

Пр.4)   Ортогонална пројекција дужи $AB$ на раван $\alpha $ је дуж $A'B' = 8cm$. Растојање тачке $A$ од равни $\alpha $ је 11cm, a растојање тачке $B$ од равни $\alpha $ је 5cm. Одредити дужину дужи $AB$, ако се тачке $A$ и $B$ налазе са исте стране равни $\alpha $.

Пр.5)   Нека је дуж $AB = 20cm$, растојање тачке $A$ од равни $\alpha $ је 8cm, а растојање тачке $B$ од равни $\alpha $ је 4cm. Одреди дужину ортогоналне пројекције дужи $AB$, ако се тачке $A$ и $B$ налазе са различитих страна равни $\alpha $.

Пр.1)  За овај задатак је потребно направити скицу.

Троугао $\vartriangle ABC$ је правоугли. Потребно израчунати непознату катету $x$.

\[\begin{gathered}
  A{B_1}^2 = A{B^2} - BB_1^2 \hfill \\
  {x^2} = {15^2} - {9^9} \hfill \\
  {x^2} = 225 - 81 \hfill \\
  x = \sqrt {144}  \hfill \\
  x = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)  Oвај задатак је јако сличан са претходним. Направимо скицу.

Израчунаћемо дужину $AB$

\[\begin{gathered}
  A{B^2} = A{A_1}^2 + {A_1}{B^2} \hfill \\
  {x^2} = {15^2} + {8^2} \hfill \\
  {x^2} = 225 + 64 \hfill \\
  x = \sqrt {289}  \hfill \\
  x = 17cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)  

Потребно израчунати катету $A{B_1}$ правоуглог троугла $\vartriangle AB{B_1}$. Пресликавањем овог троугла добићемо једнакостранични троугао. $A{B_1} = \frac{{12}}{2} = 6cm$

Пр.4) Направимо скицу.

Из тачке $B$ направићемо нормалу на дуж $A{A_1}$, добићемо правоугли троугао и правоугаоник. Странице правоугаоника су 8cm и 5cm, а катете троугла су 8cm и $11 - 5 = 6cm$. Израчунам $AB$

\[\begin{gathered}
  A{B^2} = {x^2} = {6^2} + {8^2} \hfill \\
  {x^2} = 36 + 64 \hfill \\
  x = \sqrt {100}  \hfill \\
  x = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5) Потребно нацртати скицу. Знамо да се тачке $A$ и $B$ налазе са различитих страна равни $\alpha $, $AB = 20cm$, растојање тачке $A$ од равни $\alpha $ је 8cm, а растојање тачке $B$ од равни $\alpha $ је 4cm. Ортогонална пројекција дужи $AB$ jе дуж ${A_1}{B_1}$. Потребно одредити дужину дужи ${A_1}{B_1}$.

Нацртаћемо $AC\parallel {A_1}{B_1}$ и продужићемо $B{B_1}$.

$AC{B_1}{A_1}$ је правоугаоник, онда $AC = {A_1}{B_1},A{A_1} = {B_1}C$. 

У правоуглом $\vartriangle ABC$ \[AB = 20cm,BC = 8 + 4 = 12cm\] можемо израчунати катету $AC$:

\[\begin{gathered}
  {x^2} = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 \hfill \\
  x = \sqrt {256}  = 16cm \hfill \\
\end{gathered} \]