Диедар

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Тачка $A$ се налази у унутрашњости правоуглог диедра. Од једне стране диедра је удаљена 6cm, а од друге стране 8cm. Израчунати колико је тачка $A$ удаљена од ивице тог диедра.

Пр.2)   Тачка $A$ се налази у унутрашњости правоуглог диедра и једнако је удаљена од обе стране диедра. Ако је тачка $A$ удаљена од ивице диедра 6cm, израчунати колико је удаљена од страна тог диедра.

Пр.3)   Тачка $A$ се налази на једној страни диедра и удаљена је од ивице диедра 24cm. Одредити колико је тачка удаљена од друге стране диедра, ако је нагибни угао диедра:

           а) ${60^ \circ }$    б) ${30^ \circ }$    в) ${45^ \circ }$.

Пр.1) Скицирамо правоугли диедар.Тачка $A$ се налази у унутрашњости диедра.

Спустићемо из тачки $A$ под правим углом праву на страни диедра, добићемо тачке $B$ и $D$. $AB = 6cm,AD = 8cm$. Потребно израчунати колико је тачка $A$ удаљена од ивице тог диедра или дужину $AC$.

$ABCD$ је правоугаоник, $AD = CB = 8cm$.

$\vartriangle ABC$  је прав, онда према Питагориноj теореми

\[\begin{gathered}
  {x^2} = {6^2} + {8^2} \hfill \\
  {x^2} = 36 + 64 \hfill \\
  {x^2} = 100 \hfill \\
  x = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

$ABCD$ је квадрат $AB = AD = a$

Дијагонала квадрата је $AC = d = 6cm$

\[\begin{gathered}
  d = a\sqrt 2  \hfill \\
  6 = a\sqrt 2  \hfill \\
  a = \frac{6}{{\sqrt 2 }} = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \sqrt 2 }} = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3) а)

На скици видимо да морамо израчунати катету  троугла $x$. Овај троугао пресликавамо на другу страну и добијемо једнакостранични троугао. Висину овог троугла израчунамо по формули:

\[\begin{gathered}
  h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  h = \frac{{24\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  h = 12\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Ова висина je $h=x$

б) Скицирамо диедар и све податке.

Одвоjено направићемо скицу троугла. Овај троугао пресликаваћемо на другу страну и добијећемо једнакостранични троугао. Из овог троугла је лако израчунати колико је тачка удаљена од друге стране диедра.

\[\begin{gathered}
  x = \frac{{24}}{2} \hfill \\
  x = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \]

в)

Направим скицу

Лако је видити да је потребно израчунати крак једнакокраког правоуглог троугла.

\[\begin{gathered}
  {24^2} = {x^2} + {x^2} \hfill \\
  24 = x\sqrt 2  \hfill \\
  x = \frac{{24}}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\
  x = \frac{{24\sqrt 2 }}{2} \hfill \\
  x = 12\sqrt 2 cm \hfill \\
\end{gathered} \]