Степеновање – решени задаци 2

Примена правила за степеновање на сложенијим примерима.

Задаци

Пр. 1

${\left( { - 1\frac{1}{3}} \right)^{ - 3}} = {\left( { - \frac{4}{3}} \right)^{ - 3}} = {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^3} = - \frac{{{3^3}}}{{{4^3}}} = - \frac{{27}}{{64}}$

Пр. 2

${5^{ - 1}}a{b^{ - 2}} = \frac{1}{5} \cdot a \cdot \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{a}{{5{b^2}}},b \ne 0$

Пр. 3

1) $\frac{{{3^{ - 1}}{a^2}{b^{ - 3}}}}{{2{x^{ - 4}}{y^2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{a^2}\frac{1}{{{b^3}}}}}{{2\frac{1}{{{x^4}}}{y^2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{{3{b^3}}}}}{{\frac{{2{y^2}}}{{{x^4}}}}} = \frac{{{a^2}{x^4}}}{{2{y^2} \cdot 3{b^3}}} = \frac{{{a^2}{x^4}}}{{6{y^2}{b^3}}},x,y,b \ne 0$

2) $\begin{aligned}&\left( {\frac{{4{a^{ - 2}}}}{{3{b^{ - 3}}}}} \right) \cdot \frac{1}{{12{a^5}{b^2}}} = {\left( {\frac{{2bb}}{{3a}}} \right)^{ - 4}} \div {\left( {\frac{{4{b^3}}}{{3{a^2}}}} \right)^{ - 3}} \cdot \frac{1}{{12{a^5}{b^2}}} = \\ &= {\left( {\frac{{3a}}{{2{b^2}}}} \right)^4} \div {\left( {\frac{{3{a^2}}}{{4{b^3}}}} \right)^3} \cdot \frac{1}{{12{a^5}{b^2}}} = \frac{{{3^4}{a^4}}}{{{2^4}{{\left( {{b^2}} \right)}^4}}} \div \frac{{{3^3}{{\left( {{a^2}} \right)}^3}}}{{{4^3}{{\left( {{b^3}} \right)}^3}}} \cdot \frac{1}{{12{a^5}{b^2}}} = \\ &= \frac{{{3^4}{a^4}}}{{{2^4}{b^8}}} \cdot \frac{{{4^3}{b^9}}}{{{3^3}{a^6}}} \cdot \frac{1}{{12{a^5}{b^2}}} = \frac{{3{{\left( {{2^2}} \right)}^3}}}{{{2^4}{a^2} \cdot 12{a^5}b}} = \frac{{3 \cdot {2^6}}}{{12 \cdot {2^4}{a^7}b}} = \frac{1}{{{a^7}b}},a,b \ne 0\end{aligned}$

Негативан изложилац значи реципрочну вредност: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , за $a \ne 0$ . Код разломка то значи да се разломак окрене, а изложилац промени знак: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ . Мешовити број прво претворите у неправи разломак: $\left(-2\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(-\frac{5}{2}\right)^{-2} = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$ . У изразима са словима сваки чинилац са негативним изложиоцем пребаците на другу страну разломачке црте, где добија позитиван изложилац: $\frac{x^{-4}}{b^{-3}} = \frac{b^3}{x^4}$ . Бројеве и слова обрадите посебно, чинилац по чинилац. Наведите услове: основа са негативним изложиоцем не сме бити нула, јер нула нема реципрочну вредност, па $0^{-2}$ није дефинисано. Честа грешка је $2^{-3} = -8$ ; тачно је $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .

a0,5

Изложилац n3

aⁿ: 0,125
a⁻ⁿ = 1 : aⁿ: 8
aⁿ · a⁻ⁿ: 1

Плава крива је

y = x^n

, зелена

y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}

. За

a > 1

негативан изложилац даје број мањи од 1, а за

0 < a < 1

већи од 1:

\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8

. У тачки

x = 1

се криве секу.

Инжењери, лекари и хемичари врло мале величине пишу степенима десетке са негативним изложиоцем: лист папира дебео је око $10^{-4}$ m, а бактерија је дугачка око $10^{-6}$ m.

Дебљина листа папира

Рис од 500 листова папира за штампач дебео је 5 cm. Изразите дебљину једног листа у метрима као степен броја 10. Колико листова чини гомилу високу 1 m?

Решење

Пишемо бројеве степенима десетке: 5 cm $= 5 \cdot 10^{-2}$ m, а $500 = 5 \cdot 10^2$ .
Дебљина листа је $\frac{5 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^2} = 10^{-2 - 2} = 10^{-4}$ m.
У гомили од 1 m има $\frac{1}{10^{-4}}$ листова, а $\frac{1}{10^{-4}} = 10^4$ , јер реципрочна вредност мења знак изложиоца.

Одговор: Лист је дебео $10^{-4}$ m, то јест 0,1 mm, а гомилу од 1 m чини 10.000 листова.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\left(-1\frac{1}{2}\right)^{-3}$ и упростите $\frac{4a^{-2}b^3}{2^{-1}a^3b^{-1}}$ за $a, b \ne 0$ .

Прикажи решење

$\left(-\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$ . У изразу: $\frac{4 \cdot 2 \cdot b^3 \cdot b}{a^3 \cdot a^2} = \frac{8b^4}{a^5}$ .