Логаритми 1

Логаритми. Дефиниција, особине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритам.

пр.1) ${\log _2}1 =$

${\log _7}7 =$

${\log _8}2 + {\log _8}4 =$

${\log _4}28 - {\log _4}7 =$

${\log _3}81 =$

${\log _{64}}4 =$

${\log _{\sqrt 5 }}\frac{1}{{125}} =$

${\log _4}7 \cdot {\log _7}4 =$

${\log _2}3 \cdot {\log _3}4 \cdot {\log _4}5 \cdot {\log _5}6 =$

Пр. 1

$\begin{aligned}&{\log _2}1 = 0 \\ &{\log _7}7 = 1 \\ &{\log _8}2 + {\log _8}4 = {\log _8}2 \cdot 4 = {\log _8}8 = 1 \\ &{\log _4}28 - {\log _4}7 = {\log _4}28 \div 7 = {\log _4}4 = 1 \\ &{\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4{\log _3}3 = 4 \\ &{\log _{64}}4 = {\log _{{4^3}}}4 = \frac{1}{3}{\log _4}4 = \frac{1}{3} \\ &{\log _{\sqrt 5 }}\frac{1}{{125}} = {\log _{{5^{\frac{1}{2}}}}}{5^{ - 3}} = - 3 \cdot 2{\log _5}5 = - 6 \\ &{\log _4}7 \cdot {\log _7}4 = {\log _4}7\frac{1}{{{{\log }_4}7}} = 1 \\ &{\log _2}3 \cdot {\log _3}4 \cdot {\log _4}5 \cdot {\log _5}6 = \\ &= \frac{{{{\log }_2}3}}{{{{\log }_2}2}} \cdot \frac{{{{\log }_2}4}}{{{{\log }_2}3}} \cdot \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}4}} \cdot \frac{{{{\log }_2}6}}{{{{\log }_2}5}} = {\log _2}6 = \\ &= {\log _2}2 \cdot 3 = {\log _2}2 + {\log _2}3 = 1 + {\log _2}3\end{aligned}$

Логаритам броја $b$ за основу $a$ је изложилац којим треба степеновати $a$ да би се добило $b$ : $\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$ , уз услове $a > 0$ , $a \ne 1$ и $b > 0$ . Из дефиниције следи $\log_a 1 = 0$ и $\log_a a = 1$ , а $\log_3 81 = 4$ јер је $3^4 = 81$ . Да бисте израчунали логаритам, основу и број напишите као степене истог броја: $\log_{64} 4 = \log_{4^3} 4 = \frac{1}{3}$ .

Основна правила су $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ и $\log_a x^n = n\log_a x$ . За прелазак на нову основу важи $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ , одакле је $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ . Честа грешка је $\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$ : збир под логаритмом се не раставља. Логаритам за основу 10 краће се пише $\log x$ или $\lg x$ .

Основа a2

Број b8

logₐ b: 3
Провера: a на изложилац logₐ b: 8

Права

y = b

сече график функције

y = a^x

у тачки чија је апсциса

\log_a b

. За

b < 1

изложилац је негативан, а за

b = 1

је нула, ма која била основа.

Логаритам за основу 2 каже колико пута број $n$ треба преполовити да би се стигло до 1: толико кола има турнир на испадање са $n$ играча, а отприлике толико корака треба програму да бинарном претрагом нађе име у сортираном списку од $n$ имена.

Турнир на испадање

На јуниорском тениском турниру у Новом Саду игра 64 тенисера по систему на испадање: у сваком колу половина играча испадне. Колико кола има турнир? Колико би кола имао турнир са четири пута више играча?

Решење

После $x$ кола остаје $\frac{64}{2^x}$ играча, а турнир је готов кад остане један победник: $2^x = 64$ , па је $x = \log_2 64$ .
Пошто је $64 = 2^6$ , по дефиницији је $\log_2 64 = 6$ .
За четири пута више играча примењујемо логаритам производа: $\log_2 (4 \cdot 64) = \log_2 4 + \log_2 64 = 2 + 6 = 8$ .
Провера: $2^8 = 256 = 4 \cdot 64$ , дакле турнир са 256 играча заиста има 8 кола.

Одговор: Турнир са 64 играча има 6 кола, а турнир са 256 играча 8 кола.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\log_3 \frac{1}{27} + \log_6 9 + \log_6 4$ .

Прикажи решење

$\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3$ , а $\log_6 9 + \log_6 4 = \log_6 36 = 2$ , па је збир $-3 + 2 = -1$ .